Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giả sử ({u_n}) là số hạng thứ (n) của dãy số (left( {{u_n}} right)) và ({u_n} = frac{{{{left( {1 + sqrt 5 } right)}^n} - {{left( {1 - sqrt 5 } right)}^n}}}{{{2^n}sqrt 5 }}).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo

Đề bài

Giả sử \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \({u_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}\).

a) Chứng tỏ rằng \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Từ đó suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) đầu tiên.

Tinh \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta có \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \({a^{n + 2}} - {b^{n + 2}} = \left( {{a^{n + 1}} - {b^{n + 1}}} \right)\left( {a + b} \right) - ab\left( {{a^n} - {b^n}} \right)\)

Ta có \({u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5  + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b) Lập bảng

 \(n\)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 \({u_n}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Thay \(=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n+1}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n+1}}}{{{(1+\sqrt{5})}^{n}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{5}-\left( 1-\sqrt{5} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}{1-{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

Lời giải chi tiết

. a) Ta có \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 2}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5  + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b)

 \(n\)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 \({u_n}\)

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

 \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

1

2

1,5

 \(\frac{5}{3}\)

 \(\frac{8}{5}\)

 \(\frac{{13}}{8}\)

 \(\frac{{21}}{{13}}\)

 \(\frac{{34}}{{21}}\)

 \(\frac{{55}}{{34}}\)

 \(\frac{{89}}{{55}}\)

\(\frac{{144}}{{89}}\)

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n+1}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n+1}}}{{{2}^{n+1}}\sqrt{5}}:\frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n}}}{{{2}^{n}}\sqrt{5}}$

\(=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n+1}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n+1}}}{{{(1+\sqrt{5})}^{n}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{5}-\left( 1-\sqrt{5} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}{1-{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

(do $\left| \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right|<1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}=0$ ).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close