Bài 2.66 trang 133 SBT giải tích 12

LG a

$\displaystyle y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) $\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

+) $\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a$

+) $\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}$

+) $\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

+) $\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}} = {\left( {2 + 3x} \right)^{ - 2}}$$\displaystyle  \Rightarrow y' =  - 2\left( {2 + 3x} \right)'{\left( {2 + 3x} \right)^{ - 3}}$ $=  - 2.3.{\left( {2 + 3x} \right)^{ - 2}}$ $\displaystyle  =  - 6{(2 + 3x)^{ - 3}}$

LG b

$\displaystyle y = \sqrt[3]{{{{(3x - 2)}^2}}}\left( {x \ne \frac{2}{3}} \right)$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) $\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

+) $\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a$

+) $\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}$

+) $\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

+) $\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết:

 Với $\displaystyle x > \frac{2}{3}$ thì $\displaystyle y = {\left( {3x - 2} \right)^{\frac{2}{3}}}$ nên

$\displaystyle y' = \frac{2}{3}\left( {3x - 2} \right)'.{\left( {3x - 2} \right)^{\frac{2}{3} - 1}}$ $= \frac{2}{3}.3.{\left( {3x - 2} \right)^{ - \frac{1}{3}}}= 2{(3x - 2)^{ - \frac{1}{3}}}$ $= 2.\frac{1}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}= \frac{2}{{\sqrt[3]{{3x - 2}}}}$.

Với $\displaystyle x < \frac{2}{3}$ thì $\displaystyle y =  - {\left( {2 - 3x} \right)^{\frac{2}{3}}}$ nên

$\displaystyle y' =  - \frac{2}{3}.\left( {2 - 3x} \right)'.{\left( {2 - 3x} \right)^{\frac{2}{3} - 1}}$ $=  - \frac{2}{3}.(-3).{\left( {2 - 3x} \right)^{ - \frac{1}{3}}}$ $=   2{\left( {2 - 3x} \right)^{ - \frac{1}{3}}} =  2.\frac{1}{{{{\left( {2 - 3x} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}$ $\displaystyle  = \frac{{ 2}}{{\sqrt[3]{{2 - 3x}}}} = \frac{2}{{\sqrt[3]{{3x - 2}}}}$.

Vậy $\displaystyle y' = \frac{2}{{\sqrt[3]{{3x - 2}}}}\left( {x \ne \frac{2}{3}} \right)$.

LG c

$\displaystyle y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) $\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

+) $\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a$

+) $\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}$

+) $\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

+) $\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết:

Với $\displaystyle x > \frac{7}{3}$ thì $\displaystyle y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}} = {\left( {3x - 7} \right)^{ - \frac{1}{3}}}$ nên $\displaystyle y' =  - \frac{1}{3}.3{\left( {3x - 7} \right)^{ - \frac{4}{3}}}$ $\displaystyle  =  - {\left( {3x - 7} \right)^{ - \frac{4}{3}}} =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 7} \right)}^4}}}}}$

Với $\displaystyle x < \frac{7}{3}$ thì $\displaystyle y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}} =  - {\left( {7 - 3x} \right)^{ - \frac{1}{3}}}$ nên:

$\displaystyle y' = \frac{1}{3}.\left( { - 3} \right){\left( {7 - 3x} \right)^{ - \frac{4}{3}}}$ $\displaystyle  =  - {\left( {7 - 3x} \right)^{ - \frac{4}{3}}} =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^4}}}}}$$\displaystyle  =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 7} \right)}^4}}}}}$

Vậy $\displaystyle y' =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(3x - 7)}^4}}}}}$

LG d

$\displaystyle y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) $\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

+) $\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a$

+) $\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}$

+) $\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

+) $\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x$ $\displaystyle  \Rightarrow y' = 3.\left( { - 3} \right).{x^{ - 4}} - \frac{1}{{x\ln 3}}$ $\displaystyle  =  - 9{x^{ - 4}} - \frac{1}{{x\ln 3}}$

LG e

$\displaystyle y = (3{x^2} - 2){\log _2}x$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) $\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

+) $\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a$

+) $\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}$

+) $\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

+) $\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y = (3{x^2} - 2){\log _2}x$

$\displaystyle  \Rightarrow y'  = \left( {3{x^2} - 2} \right)'{\log _2}x + \left( {3{x^2} - 2} \right)\left( {{{\log }_2}x} \right)'$ $= 6x{\log _2}x + \left( {3{x^2} - 2} \right).\frac{1}{{x\ln 2}}$ $\displaystyle  = 6x{\log _2}x + \frac{{3{x^2} - 2}}{{x\ln 2}}$

LG g

$\displaystyle y = \ln (\cos x)$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) $\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

+) $\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a$

+) $\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}$

+) $\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

+) $\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y = \ln (\cos x)$$\displaystyle  \Rightarrow y' = \frac{{\left( {\cos x} \right)'}}{{\cos x}}$ $\displaystyle  =  - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} =  - \tan x$

LG h

$\displaystyle y = {e^x}\sin x$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) $\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

+) $\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a$

+) $\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}$

+) $\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

+) $\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y = {e^x}\sin x$

$\displaystyle  \Rightarrow y'  = \left( {{e^x}} \right)'\sin x + {e^x}\left( {\sin x} \right)'$ $= {e^x}\sin x + {e^x}\cos x$ $\displaystyle  = {e^x}(\sin x + \cos x)$

LG i

$\displaystyle y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính đạo hàm:

+) $\displaystyle \left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

+) $\displaystyle \left( {{a^u}} \right)' = u'\ln a$

+) $\displaystyle \left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}$

+) $\displaystyle \left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

+) $\displaystyle \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}$

$\Rightarrow y'  = \frac{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)'.x - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right).\left( x \right)'}}{{{x^2}}}$ $\displaystyle  = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)x - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}}{{{x^2}}}$ $\displaystyle  = \frac{{x({e^x} + {e^{ - x}}) - {e^x} + {e^{ - x}}}}{{{x^2}}}$

Loigiaihay.com