Giải bài 2.6 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Cho tứ diện ABCD. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {EF} = frac{2}{3}overrightarrow {MN} ); b) (overrightarrow {EF} = frac{1}{3}overrightarrow {CD} ).

Quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {EF}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} \);

b) \(\overrightarrow {EF}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a : Sử dụng tính chất của đường trung bình để biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {EA} \) và \(\overrightarrow {AF} \) theo vectơ khác sao cho xuất hiện điểm M, N,..(các điểm mong muốn). Kết hợp với phép biến đổi, tách, cộng vectơ để chứng minh kết quả cuối cùng với \(\overrightarrow {EF} \).

Ý b: Xét tam giác BCD MN là đường trung bình. Từ đó biểu diễn được \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \). Thay giá trị đó vào ý a ta thu được điều phải chứng minh

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có \(EA = \frac{2}{3}AM\) (do E là trọng tâm và AM  là trung tuyến của tam giác). Suy ra \(\overrightarrow {EA}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MA} \). Tương tự xét tam giác ABD  có \(\overrightarrow {AF}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} \) (do F là trọng tâm và AN  là trung tuyến của tam giác).

Do đó ta có \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AF}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} .\)

b) Xét tam giác BCD MN là đường trung bình suy ra \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \).

Kết hợp với ý a ta có \(\overrightarrow {EF}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN}  = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} .\)

 

  • Giải bài 2.7 trang 44 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một tòa chung cư có chiều cao của các tầng như nhau. Một thang máy di chuyển từ tầng 10 lên tầng 26 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 26 xuống tầng 18. Hãy cho biết mối liên hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó, từ đó phát biểu một đẳng thức liên hệ giữa hai vectơ đó.

  • Giải bài 2.8 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Một chiếc bàn cân đối được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và ba chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ (overrightarrow u )) phân tán đều qua các chân bàn và tạo nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ (overrightarrow x ,{rm{ }}overrightarrow y ,{rm{ }}overrightarrow z )). Hãy giải thích vì sao (overrightarrow x = overrightarrow y = overrightarrow z = - frac{1}{3}overrightarrow u )

  • Giải bài 2.9 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x \), \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow y \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow z \). Hãy biểu diễn các vectơ sau qua ba vectơ \(\overrightarrow x ,{\rm{ }}\overrightarrow y ,{\rm{ }}\overrightarrow z \): a) \(\overrightarrow {AD} \); b) \(\overrightarrow {AC'} \); c) \(\overrightarrow {BD'} \).

  • Giải bài 2.10 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Trong không gian, cho hai hình bình hành ABCD và (A'B'C'D'). Chứng minh rằng: a) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {AB'} + overrightarrow {AD'} - overrightarrow {AB} - overrightarrow {AD} ); b) (overrightarrow {BB'} + overrightarrow {DD'} = overrightarrow {CC'} ).

  • Giải bài 2.11 trang 45 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

    Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D'). Biết rằng (AA' = 2) và tứ giác (ABCD) là hình thoi có (AB = 1) và (widehat {ABC} = {60^ circ }), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'D'} ); b) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BD} ); c) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'C'} );

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close