Bài 2.3 trang 47 SBT hình học 12

Đề bài

Cho $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng $a$ và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là $\alpha$. Hình nón đỉnh $S$ có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều $ABC$ gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo $a$ và $\alpha$.

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$.

Theo giả thiết ta có $SA = SB = SC = a$ và $\widehat {SIO} = \alpha$.

Đặt $OI = r, SO = h$, ta có $AO = 2r$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = r\tan \alpha }\\{{a^2} = {h^2} + 4{r^2}}\end{array}} \right.$    (vì $S{A^2} = {\rm{ }}S{O^2} + {\rm{ }}A{O^2}$)

Do đó ${a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha  + 4{r^2} = {r^2}({\tan ^2}\alpha  + 4)$

Vậy $r = \dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}$

Hình nón nội tiếp có đường sinh là: $l = SI = \dfrac{r}{{\cos \alpha }} = \dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}$

Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC$ là:

${S_{xq}} = \pi rl$$= \pi .\dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}.\dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}$ $= \dfrac{{\pi {a^2}}}{{\cos \alpha ({{\tan }^2}\alpha  + 4)}}$

Loigiaihay.com