Bài 2.4 trang 47 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có chiều cao $SO = h$ và góc $\widehat {SAB} = \alpha (\alpha  > {45^0})$. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh $S$ và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ của hình chóp.

Lời giải chi tiết

Gọi $r$ là bán kính đáy của hình nón ta có $OA = r, SO = h$ và $SA = SB = SC = SD =l$ là đường sinh của hình nón.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AB$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\\AI = SA.\cos \alpha \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{l^2} = {h^2} + {r^2}(1)\\\dfrac{{r\sqrt 2 }}{2} = l\cos \alpha (2)\end{array} \right.$

$(2) \Rightarrow r = \sqrt 2 l\cos \alpha$

$(1) \Rightarrow {l^2} = {h^2} + 2{l^2}{\cos ^2}\alpha$$\Rightarrow {h^2} = {l^2}(1 - 2{\cos ^2}\alpha )$ $\Rightarrow {l^2} = \dfrac{{{h^2}}}{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}$ $\Rightarrow l = \dfrac{h}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}$

Do đó $r = \sqrt 2 l\cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 2 h\cos \alpha }}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}$

${S_{xq}} = \pi rl$$= \pi .\dfrac{{\sqrt 2 h\cos \alpha }}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}.\dfrac{h}{{\sqrt {1 - 2{{\cos }^2}\alpha } }}$ $= \dfrac{{\pi \sqrt 2 {h^2}\cos \alpha }}{{1 - 2{{\cos }^2}\alpha }}$

Loigiaihay.com