Bài 2.6 trang 47 SBT hình học 12

Đề bài

Cho khối nón có bán kính đáy $r = 12 cm$ và có góc ở đỉnh là $\alpha  = {120^0}$. Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết ta có góc ở đỉnh của hình nón là $\displaystyle \widehat {ASB} = \alpha  = {120^0}$.

Gọi $\displaystyle O$ là tâm của đường tròn đáy. Ta có: $\displaystyle \widehat {ASO} = {60^0}$  và $\displaystyle \sin {60^0} = {{OA} \over {SA}} = {r \over l}$ với $\displaystyle l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

Vậy $\displaystyle l = {r \over {\sin {{60}^0}}} = {{12} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{24} \over {\sqrt 3 }}$

Khi có hai đường sinh vuông góc với nhau ta có tam giác vuông có diện tích là $\displaystyle {1 \over 2}{l^2}$.  

Do đó, diện tích của thiết diện là: $\displaystyle S = {1 \over 2}{l^2}$ $\displaystyle = {1 \over 2}.{{{{24}^2}} \over 3}$ $\displaystyle = 96(c{m^2})$.

Loigiaihay.com