Giải bài 1.5 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho \(\sin a + \cos a = m\). Hãy tính theo m.

a) \(\sin a\cos a\)                     

b) \({\sin ^3}a + {\cos ^3}a\)                     

c) \({\sin ^4}a + {\cos ^4}a\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\sin a + \cos a = m\) nên \({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {m^2}\)

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}a + 2\sin a\cos a + {\cos ^2}a = {m^2}\\ \Rightarrow \left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + 2\sin a\cos a = {m^2}\\ \Rightarrow 1 + 2\sin a\cos a = {m^2}\\ \Rightarrow 2\sin a\cos a = {m^2} - 1\\ \Rightarrow \sin a\cos a = \frac{{{m^2} - 1}}{2}.\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}{\sin ^3}a + {\cos ^3}a\\ = (\sin a + \cos a)({\sin ^2}a - \sin a\cos a + {\cos ^2}a)\\ = m.\left[ {({{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a) - \sin a\cos a} \right]\\ = m.(1 - \sin a\cos a)\\ = m\left( {1 - \frac{{{m^2} - 1}}{2}} \right) = m.\frac{{2 - {m^2} + 1}}{2} = m.\frac{{3 - {m^2}}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}.\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}a + {\cos ^4}a\\ = \left( {{{\sin }^4}a + 2{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + {{\cos }^4}a} \right) - 2{\sin ^2}a{\cos ^2}a\\ = {\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)^2} - 2{(\sin a{\mathop{\rm cosa}\nolimits} )^2}\\ = {1^2} - 2{\left( {\frac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = 1 - 2.\frac{{{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}}}{4} = 1 - \frac{{{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}}}{2}.\end{array}\)