Bài 1 trang 154 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác $ABC$ có các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường vuông góc với $AB$ tại $B$ và đường vuông góc với $AC$ tại $C$ cắt nhau ở $K$. Tam giác $ABC$ phải có điều kiện gì thì tứ giác $BHCK$ là:

a) Hình thoi?

b) Hình chữ nhật? 

Lời giải chi tiết

(h.112) 

Theo đề bài $BD \bot AC,KC \bot AC\left( {h.112} \right)$ suy ra $BD//KC$ hay $BH//AC;CE \bot AB,KB \bot AB$ suy ra $CE//KB$ hay $CH//KB$

Tứ giác $BHCK$ có $BH//KC,CH//KB$ nên là hình bình hành.

Gọi $M$ là giao điểm của $BC$ và $HK.$

a) Hình bình hành $BHCK$ là hình thoi khi và chỉ khi $HM \bot BC.$ Vì $AH \bot BC$ nên $HM \bot BC \Leftrightarrow A,M,H$ thẳng hàng $\Leftrightarrow AM \bot BC \Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại $A.$

b) Hình bình hành $BHCK$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\widehat {BKC} = {90^0}.$

$\widehat {BKC} = {90^0} \Leftrightarrow \widehat {BAC} = {90^0}$ (tứ giác $ABKC$ đã có $\widehat {ABK} = \widehat {ACK} = {90^0}$)

$\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A.$ 

Loigiaihay.com