Đề thi học kì 2 Toán 9 - Đề số 5

a) Gọi toạ độ điểm có hoành độ và tung độ là hai số đối nhau là $\left( {{x_0}; - {x_0}} \right)$.

Vì ${y_0} =  - {x_0}$ nên $- {x_0} = \frac{{ - 1}}{4}x_0^2$

$\begin{array}{l}\frac{1}{4}x_0^2 - {x_0} = 0\\{x_0}\left( {\frac{1}{4}{x_0} - 1} \right) = 0\end{array}$

${x_0} = 0$ hoặc $\frac{1}{4}{x_0} - 1 = 0$

${x_0} = 0$ hoặc $\frac{1}{4}{x_0} = 1$

${x_0} = 0$ hoặc ${x_0} = 4$

suy ra ${y_0} = 0$ hoặc ${y_0} =  - 4$

Do đó ta được $\left( {0;0} \right)$ (loại) và $\left( {4; - 4} \right)$.

Vậy điểm $\left( {4; - 4} \right)$ thuộc $\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2}$.

b) $3{x^2} + 2x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2$.

Xét phương trình $3{x^2} + 2x - 3 = 0$ ta có: $ac = 3.\left( { - 3} \right) =  - 9 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$.

Áp dụng định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{2}{3}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{3} =  - 1\end{array} \right.$

Ta có: $M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2$

$\begin{array}{l} = {x_1}{x_2} - x_1^2 - 2x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\\ =  - x_1^2 + 3{x_1}{x_2} - x_2^2\\ =  - \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) + 5{x_1}{x_2}\\ =  - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 5{x_1}{x_2}\\ =  - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right)\\ = \frac{{ - 49}}{9}\end{array}$

Vậy $M = \frac{{ - 49}}{9}$.