Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 11 - đề số 4 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1. Tính giới hạn $\lim \dfrac{{{5^n} - {3^n}}}{{{5^n} - 4}}.$

A. $- 3$     B. $0$        C. $5$        D. $1$

Câu 2. Cho hai đường thẳng $a,\,\,b$ phân biệt và mặt phẳng $\left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Nếu $\left( P \right)//\left( Q \right)$ và $b \bot \left( P \right)$ thì $b \bot \left( Q \right)$                    

B. Nếu $a//\left( P \right)$ và $b \bot a$ thì $b \bot \left( P \right)$

C. Nếu $a//\left( P \right)$ và $b \bot \left( P \right)$  thì $b \bot a$

D. Nếu $a \bot \left( P \right),\,\,b \bot \left( P \right)$  thì $a//b$

Câu 3 . Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$; tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA = a$. Tìm góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

A. ${60^0}$  B. ${90^0}$  C. ${30^0}$  D. ${45^0}$

Câu 4 . Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 ?

A. $\lim \dfrac{{n + 3}}{{n + 2}}$          

B. $\lim {\left( {\dfrac{{2019}}{{2020}}} \right)^n}$                   

C. $\lim {2^n}$            

D. $\lim {n^4}$

Câu 5 . Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ theo $a$.

A. $\dfrac{1}{2}{a^2}$    B. ${a^2}$     C. $- {a^2}$      D. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}$

Câu 6 . Cho tứ diện $OABC$ có $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây sai.

A. $AB \bot OC$    B. $OH \bot \left( {ABC} \right)$     C. $OH \bot BC$    D. $OH \bot OA$

Câu 7 . Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {1;5} \right)$       

B. Hàm số gián đoạn tại $x = 2020$

C. Hàm số liên tục tại $x = 2$          

D. Hàm số gián đoạn tại $x = 2$

Câu 8. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng $5$.

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^2} + 3x + 7} \right)$       

B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 10}  - x} \right)$ 

C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3x - 2} \right)$  

D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left| {x - 3} \right|$

Câu 9 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{3x + 2}}{{2 - x}} = 5$  

B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{4x + 5}}{{x - 2}} =  + \infty$

C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 5}  - x} \right) = 1$  

D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{3x + 2}}{{x - 1}} =  + \infty$

Câu 10 . Biết ba số ${x^2};\,\,8;\,\,x$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của $x$ bằng

A. $x = 4$           B. $x = 5$           C. $x = 2$           D. $x = 1$

Câu 11 . Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Chọn mệnh đề đúng?

A. $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {C'A'}$

B. $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AA'}$ 

C. $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$   

D. $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {C'D'}  = \overrightarrow 0$

Câu 12. Giá trị $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}$  bằng:

A. $- \dfrac{1}{2}$    B. $\dfrac{1}{5}$     C. $\dfrac{1}{3}$    D. $\dfrac{1}{4}$

Câu 13 . Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_2} = 8;\,\,{u_5} = 17$. Công sai $d$ bằng:

A. $d =  - 3$   B. $d =  - 5$     C. $d = 3$   D. $d = 5$

Câu 14 . Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$.

A. $y = \sqrt {x + 2}$  B. $y = \sin x$

C. $y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 2}}$  D. $y = {x^2} - 3x + 2$

Câu 15 . Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 81$ và ${u_2} = 27$. Tìm công bội $q$?

A. $q =  - \dfrac{1}{3}$   B. $q = \dfrac{1}{3}$   C. $q = 3$   D. $q =  - 3$

Câu 16 . Cho giới hạn $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x - 2}}$. Khẳng định nào sau đây đúng

A. $I \in \left( {3;5} \right)$  

B. $I \in \left( {2;3} \right)$            

C. $I \in \left( {5;6} \right)$                

D. $I \in \left( {1;2} \right)$

Câu 17 . Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 19$ và $d =  - 2$. Tìm số hạng tổng quát ${u_n}$.

A. ${u_n} =  - 2{n^2} + 33$      B. ${u_n} =  - 3n + 24$

C. ${u_n} =  - 2n + 21$           D. ${u_n} = 12 + 2n$

Câu 18 . Giới hạn $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 4x + 5} \right)$ bằng

A. $I =  - \infty$   B. $I =  + \infty$    

C. $I =  - 2$     D. $I = 5$ 

Câu 19. Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {4 - x}$ liên tục trên

A. $\left( { - 3;10} \right)$       B. $\left[ { - 3;4} \right]$

C. $\left[ { - 3; + \infty } \right)$       D. $\left( { - \infty ;4} \right]$

Câu 20. Giới hạn $J = \lim \dfrac{{2n + 3}}{{n + 1}}$ bằng:

A. $3$        B. $1$      C. $2$     D. $0$

Câu 21. Tính giới hạn $J = \lim \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{{n^3} + 2}}$.

A. $J = 0$    B. $J = 2$  C. $J = 1$   D. $J = 3$

Câu 22. Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $AB,\,\,CD$ là hai đường thẳng chéo nhau 

B. $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 4\overrightarrow {AG}$

C. $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD}$ đồng phẳng

D. $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0$

Câu 23. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân ?

A. $1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 1$.      B. $1;\,\, - 3;\,\,9;10$ 

C. $1;0;0;0$.        D. $32;\,\,16;\,\,8;\,\,4$

Câu 24. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt $a,\,b,\,c.$Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu $a$và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ mà $\left( \alpha  \right)//a$ thì $a//b$.

B. Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.

C. Nếu $a$và $b$ cùng vuông góc với $c$thì $a//b$.

D. Nếu $a//b$ và $c \bot a$  thì $c \bot b$.

Câu 25. Tính giới hạn $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 3x - 5} \right)$

A. $I = 3$     B. $I =  - 1$   C. $I =  + \infty$   D. $I =  - 5$

Câu 26. Cho các hàm số $y = {x^2};$ $y = \sin x;$ $y = \tan x;$ $y = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + x + 1}}$. Có bao nhiêu hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

 A. $4$       B. $3$    C. $1$    D. $2$

Câu 27. Chọn mệnh đề sai

A. $\lim \dfrac{1}{{{2^n}}} = 0$  

B. $\lim \dfrac{3}{{n + 1}} = 0$

C. $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 3}  - n} \right) = 1$ 

D. $\lim {\left( { - 2} \right)^n} =  + \infty$

Câu 28. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB \bot BC$. Hình chóp $S.ABC$ có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?

 A. $4$     B. $3$      C. $2$    D. $1$

Câu 29. Chọn mệnh đề đúng

A. $\lim \left( { - 2{n^2} + 3} \right) =  + \infty$  

B. $\lim \sqrt {{n^2} + n + 1}  =  - \infty$  

C. $\lim \dfrac{{2n + 5}}{{2n + 3}} = 1$   

D. $\lim {2^n} = 0$

Câu 30. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $DA'$ bằng:

A. ${30^0}$    B. ${90^0}$      C. ${60^0}$    D. ${0^0}$

Câu 31. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$ và $SC \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $M$là trung điểm của $AB$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $SM$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Biết $SC = a$, tính $\tan \alpha$?

A. $\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$     B. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

C. $\dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}$    D. $\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$

Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = AB$. Gọi $E,\,F$lần lượt là trung điểm của $BC,\,\,SC$. Góc giữa $EF$ và mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ bằng:

A. ${45^0}$   B. ${30^0}$    C. ${60^0}$   D. ${90^0}$

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ để $I < 12$ biết $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^4} - 2mx + {m^2} + 3} \right)$

A. $6$             B. $5$ C. $8$ D. $7$

Câu 34. Cho phương trình ${x^3} - 3{x^2} + 3 = 0$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Phương trình vô nghiệm   

B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

C. Phương trình có đúng hai nghiệm $x = 1;\,\,x = 2$.

D. Phương trình có đúng một nghiệm

Câu 35. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC.$ Gọi $I$  là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phằng $\left( {ABC} \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $I$ là trực tậm của $\Delta ABC$  

B. $I$ là trung điểm của $AB$

C. $I$là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ABC$ 

D. $I$ là trọng  tâm của $\Delta ABC$

Câu 37. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 11;\,\,\,{u_2} = 13$. Tính tổng $S = \dfrac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_2}{u_3}}} + .... + \dfrac{1}{{{u_{99}}{u_{100}}}}$.

A. $S = \dfrac{9}{{209}}$     B. $S = \dfrac{{10}}{{211}}$  

C. $S = \dfrac{{10}}{{209}}$            D. $S = \dfrac{9}{{200}}$

Câu 38. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_2} =  - 2$ và ${u_5} = 54$. Tính tổng $1000$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

A. ${S_{1000}} = \dfrac{{{3^{1000}} - 1}}{2}$      

B. ${S_{1000}} = \dfrac{{1 - {3^{1000}}}}{4}$       

C. ${S_{1000}} = \dfrac{{1 - {3^{1000}}}}{6}$

D. ${S_{1000}} = \dfrac{{{3^{1000}} - 1}}{6}$

Câu 39. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $DM$.

A. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$      B. $\dfrac{1}{2}$

C. $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$      D. $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Câu 40. Hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt {x - 2} }}$ liên tục trên khoảng nào sau đây?

 A. $\left( {0;4} \right)$          B. $\left( {2; + \infty } \right)$ 

C. $\left( {0; + \infty } \right)$          D. $\mathbb{R}$

Câu 41. Số điểm gián đoạn của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x\,}}{{{x^3} + 3{x^2} - 2x - 2}}$?

A. $0$             B. $2$ C. $1$ D. $3$

Câu 42. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = 6a$, $BD = 8a$. Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,\,\,BC$. Biết $AC \bot BD$. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

A. $MN = a\sqrt {10}$         B. $MN = 7a$

C. $MN = 5a$            D. $MN = 10a$

Câu 43. Cho giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3$  thì $a$ bằng bao nhiêu.

A. $a = 2$      B. $a = 0$       C. $a =  - 2$   D. $a =  - 1$

Câu 44. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 7$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {10 - 2f\left( x \right)} \right]$ bằng bao nhiêu.

A. $- 4$         B. $4$ C. $10$           D. $- 14$

Câu 45. Gọi $S$ là tập các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\{m^2} + m - 8\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.$ liên tục tại $x = 1$. Tích các phần tử của tập $S$ bằng

A. $- 2$         B. $- 8$        C. $- 6$       D. $- 1$

Câu 46. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Người ta dựng hình vuông ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có cạnh bằng $\dfrac{1}{2}$ đường chéo của hình vuông $ABCD$; dựng hình vuông ${A_2}{B_2}{C_2}{D_2}$ có cạnh bằng $\dfrac{1}{2}$ đường chéo của hình vuông ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Nếu tổng diện tích  của tất cả các hình vuông $ABCD,{A_1}{B_1}{C_1}{D_1},{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}...$ bằng $8$ thì $a$ bằng:   

 

 A. $2$      B. $\sqrt 2$   C. $\sqrt 3$   D. $2\sqrt 2$

Câu 47. Cho $a,\,\,b$ là các số nguyên và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20$. Tính $P = {a^2} + {b^2} - a - b$.

A. $400$         B. $225$         C. $325$         D. $320$

Câu 48. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)$, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng $4$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa cạnh $AB$ và vuông góc với cạnh $CD$ tại $I.$ Diện tích tam giác $IAB$ lớn nhất bằng:

A. $12$           B. $6$ C. $8\sqrt 3$ D. $4\sqrt 3$

Câu 49. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}} = 12.$ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {2f\left( x \right) - 16}  - 4}}{{{x^2} + x - 6}}$ bằng 

A. $\dfrac{1}{5}$      B. $\dfrac{3}{5}$    C. $20$   D. $- \dfrac{1}{{20}}$

Câu 50. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {4x + 1}  - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}}\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ne 0\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.$. Biết $a$ là giá trị để hàm số liên tục tại ${x_0} = 0,$ tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${x^2} - x + 36a < 0$.

A. $4$     B. $3$     C. $2$    D. $0$

Lời giải chi tiết

1. D	2. B	3. D	4. B	5. A
6. D	7. D	8. A	9. D	10. A
11. D	12. A	13. C	14. C	15. B
16. A	17. D	18. A	19. B	20. C
21. A	22. C	23. B	24. D	25. B
26. B	27. D	28. A	29. C	30. C
31. A	32. A	33. B	34. B	35. C
36. D	37. A	38. C	39. A	40. B
41. D	42. C	43. C	44. A	45. C
46. A	47. D	48. B	49. B	50. A

 

Câu 1 (TH) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho ${5^n}$.

Cách giải:

Ta có: $\lim \dfrac{{{5^n} - {3^n}}}{{{5^n} - 4}} = \lim \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n}}}{{1 - 4.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}} = \dfrac{1}{1} = 1$.

Chọn D.

Câu 2 (TH) – Ôn tập tổng hợp chương 2, 3 (Hình học 11)

Phương pháp:

Sử dụng tính chất mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Cách giải:

Xét 4 đáp án ta thấy đáp án B sai, vì nếu $\left\{ \begin{array}{l}a//\left( P \right)\\b \bot a\end{array} \right.$ thì $a,\,\,b$ có thể cắt nhau, song song, ... cùng nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( P \right)$.

Chọn B.

Câu 3 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phăng đó.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân hoặc tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Cách giải:

 

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABC} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA$.

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $A$.

Lại có $SA = AC = a \Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại $A \Rightarrow \angle SCA = {45^0}$.

Vậy $\angle \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}$.

Chọn D.

Câu 4 (NB) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Tính giới hạn ở từng đáp án.

Cách giải:

- Xét đáp án A: $\lim \dfrac{{n + 3}}{{n + 2}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{3}{n}}}{{1 + \dfrac{2}{n}}} = \dfrac{1}{1} = 1$.

- Xét đáp án B: $\lim {\left( {\dfrac{{2019}}{{2020}}} \right)^n} = 0$ vì $\dfrac{{2019}}{{2020}} < 1$.

- Xét đáp án C: $\lim {2^n} =  + \infty$.

- Xét đáp án D: $\lim {n^4} =  + \infty$.

Chọn B.

Câu 5 (TH) – Vectơ trong không gian

Phương pháp:

Sử dụng công thức $\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)$.

Cách giải:

 

Vì  là tam giác đều nên $\angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \angle BAC = {60^0}$.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.cos\angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}{a^2}$.

Chọn A.

Câu 6 (VD) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

- Sử dụng các định lí: $\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)$, $\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a$.

Cách giải:

 

Kẻ $CE \bot AB\,\,\left( {E \in AB} \right),\,\,AF \bot BC\,\,\left( {F \in BC} \right),\,\,CE \cap AF = H$.

Tứ diện $OABC$ có $OA,\,\,OB,\,\,OC$  đôi một vuông góc với nhau, do đó:

$OA \bot \left( {OBC} \right),\,\,OB \bot \left( {OAC} \right),\,\,OC \bot \left( {OAB} \right)$

+ Ta có: $OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot AB$. Do đó đáp án A đúng.

+ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AF\\BC \bot OA\,\,\left( {do\,\,OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAF} \right) \Rightarrow BC \bot OH$. Do đó đáp án C đúng.

+ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CE\\AB \bot OC\,\,\left( {do\,\,OC \bot \left( {OAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {COE} \right) \Rightarrow AB \bot OH$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}OH \bot BC\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)$. Do đó đáp án B đúng.

+ Ta có: $OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot OF \Rightarrow \Delta AOF$ vuông tại $O$.

$\Rightarrow OH$ không vuông góc với $OA$. Do đó đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 7 (NB) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Hàm phân thức liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Cách giải:

Hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 2}}$ có TXĐ $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ nên hàm số đã cho gián đoạn tại $x = 2$.

Chọn D.

Câu 8 (NB) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

Tính các giới hạn từng đáp án.

Cách giải:

Xét đáp án A: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^2} + 3x + 7} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {4 - 6 + 7} \right) = 5$.

Chọn A.

Câu 9 (TH) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

Tính các giới hạn từng đáp án.

Cách giải:

Xét đáp án D: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{3x + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{3 + \dfrac{2}{x}}}{{1 - \dfrac{1}{x}}} = 3$ nên đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 10 (TH) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Sử dụng tính chất cấp số cộng: Ba số $x,\,\,y,\,\,z$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì $xz = {y^2}$.

Cách giải:

Để 3 số ${x^2};\,\,8;\,\,x$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì ${x^2}.x = {8^2} \Leftrightarrow x = 4$.

Chọn A.

Câu 11 (NB) – Vectơ trong không gian

Phương pháp:

Vẽ hình, xác định các vectơ bằng nhau và sử dụng quy tắc cộng vectơ.

Cách giải:

 

Ta có: $\overrightarrow {C'D'}  = \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}$ $\Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {C'D'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0$ nên đáp án D đúng.

Chọn D.

Câu 12 (TH) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn phân thức để khử dạng 0/0.

- Tính giới hạn.

Cách giải:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}} =  - \dfrac{1}{2}$.

Chọn A.

Câu 13 (NB) – Cấp số cộng

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$, công sai $d$ là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ .

Cách giải:

Ta có: ${u_5} = {u_2} + 3d \Rightarrow 17 = 8 + 3d \Rightarrow d = 3$.

Chọn C.

Câu 14 (NB) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Hàm phân thức không liên tục tại điểm mà hàm số không xác định.

Cách giải:

Dễ thấy hàm số $y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 2}}$ không xác định tại $x = 2$ nên không liên tục tại $x = 2$.

Chọn C.

Câu 15 (NB) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q$  là ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$ .

Cách giải:

Ta có: ${u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{27}}{{81}} = \dfrac{1}{3}$.

Chọn B.

Câu 16 (TH) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho ${x^2}$.

Cách giải:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 4$.

Vậy $I = 4 \in \left( {3;5} \right)$.

Chọn A.

Câu 17 (NB) – Cấp số cộng

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$, công sai $d$ là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ .

Cách giải:

Ta có: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 19 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 2} \right) =  - 2n + 21$.

Chọn D.

Câu 18 (NB) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

Đặt ${x^3}$ ra ngoài, xét dấu từng giới hạn.

Cách giải:

Ta có: $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 4x + 5} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( { - 2 + \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)$.

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2 + \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right) =  - 2 < 0\end{array}$

Vậy $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 4x + 5} \right) =  - \infty$.

Chọn A.

Câu 19 (NB) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Hàm căn thức liên tục trên tập xác định của nó.

Cách giải:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}3 + x \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 4$.

$\Rightarrow$ Hàm số đã cho xác định trên $D = \left[ { - 3;4} \right]$ nên hàm số cũng liên tục trên $\left[ { - 3;4} \right]$.

Chọn B.

Câu 20 (NB) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho $n$.

Cách giải:

Ta có: $J = \lim \dfrac{{2n + 3}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = 2$.

Chọn C.

Câu 21 (TH) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho ${n^3}$.

Cách giải:

Ta có: $J = \lim \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{{n^3} + 2}} = \lim \dfrac{{2{n^2} + n - 3}}{{{n^3} + 2}} = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{3}{{{n^3}}}}}{{1 + \dfrac{2}{{{n^3}}}}} = 0$.

Chọn A.

Câu 22 (NB) – Vectơ trong không gian

Phương pháp:

Sử dụng khái niệm tứ diện.

Cách giải:

Vì $ABCD$ là tứ diện nên $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AD}$ không đồng phẳng.

Chọn C.

Câu 23 (NB) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nếu $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Cách giải:

Xét đáp án A ta có: $1; - 1;1; - 1$ là 1 cấp số nhân với ${u_1} = 1,\,\,q =  - 1$.

Xét đáp án B có $\dfrac{{ - 3}}{1} = \dfrac{9}{{ - 3}} \ne \dfrac{{10}}{9}$, do đó $1; - 3;9;10$ không là cấp số nhân.

Xét đáp án C ta có: $1;0;0;0$ là 1 cấp số nhân với ${u_1} = 1,\,\,q = 0$.

Xét đáp án D ta có: $32;16;8;4$ là 1 cấp số nhân với ${u_1} = 32;\,\,q = \dfrac{1}{2}$.

Chọn B.

Câu 24 (TH) – Ôn tập tổng hợp chương 2, 3 (Hình học 11)

Phương pháp:

Sử dụng mối quan hệ giữa song song và vuông góc trong không gian.

Cách giải:

Đáp án A: $a$ sẽ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong $\left( \alpha  \right)$ chứ chưa chắc song song với đường thẳng $b$.

Đáp án B chỉ đúng trong mặt phẳng.

Đáp án C $a$ và $b$ có thể chéo nhau.

Đáp án D đúng.

Chọn D.

Câu 25 (TH) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = {x_0}$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Cách giải:

Vì ${x^2} + 3x - 5$ liên tục tại $x = 1$ nên $I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 3x - 5} \right) = 1 + 3 - 5 =  - 1$.

Chọn B.

Câu 26 (TH) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi chúng xác định trên $\mathbb{R}$.

Cách giải:

Các hàm số có TXĐ là $\mathbb{R}$ là $y = {x^2};\,\,y = \sin x;\,\,y = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ nên có 3 hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Chọn B.

Câu 27 (TH) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Tính từng giới hạn ở từng đáp án.

Cách giải:

Đáp án A: $\lim \dfrac{1}{{{2^n}}} = 0$ đúng.

Đáp án B: $\lim \dfrac{3}{{n + 1}} = \lim \left( {\dfrac{{\dfrac{3}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}}} \right) = \dfrac{0}{1} = 0$ đúng.

Đáp án C: $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 3}  - n} \right) = \lim \dfrac{{2n + 3}}{{\sqrt {{n^2} + 2n + 3}  + n}}$ $= \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{n}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{{{n^2}}}}  + 1}} = 1$ đúng.

Chọn D.

Câu 28 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

Sử dụng định lí $\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)$.

Cách giải:

 

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta SAB\\\Delta SAC\end{array} \right.$ là các tam giác vuông.

Ta có: $AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $\Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại $B$.

Vậy hình chóp $S.ABC$ có cả 4 mặt là tam giác vuông.

Chọn A.

Câu 29 (TH) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Tính từng giới hạn ở từng đáp án.

Cách giải:

Xét đáp án C: $\lim \dfrac{{2n + 5}}{{2n + 3}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{5}{n}}}{{2 + \dfrac{3}{n}}} = \dfrac{2}{2} = 1$.

Chọn C.

Câu 30 (TH) – Hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

- Sử dụng định lí: Nếu $b//c$ thì $\angle \left( {a;b} \right) = \angle \left( {a;c} \right)$.

- Sử dụng định lí Pytago và tính chất tam giác đều.

Cách giải:

 

Ta có $AC//A'C'$ nên $\angle \left( {AC;DA'} \right) = \angle \left( {A'C';DA'} \right)$.

Giả sử $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương cạnh $1$, áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta tính được $A'D = A'C' = C'D = \sqrt 2  \Rightarrow \Delta A'C'D$ đều.

Vậy $\angle \left( {AC;DA'} \right) = \angle \left( {A'C';DA'} \right) = \angle C'A'D = {60^0}$.

Chọn C.

Câu 31 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó để xác định góc.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Cách giải:

 

Vì $SC \bot \left( {ABC} \right)$ nên $CM$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ lên $\left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow \angle \left( {SM;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;CM} \right) = \angle SMC = \alpha$.

Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $MC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác vuông $SMC$ ta có: $\tan \angle SMC = \dfrac{{SC}}{{MC}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $\tan \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn D.

Câu 32 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

- Sử dụng định lí: Nếu $a//b$ thì $\angle \left( {a;\left( P \right)} \right) = \angle \left( {b;\left( P \right)} \right)$.

- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó để xác định góc.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc hoặc tính chất tam giác vuông cân.

Cách giải:

 

Vì $EF$ là đường trung bình của tam giác $SBC$ nên $EF//SB$, khi đó ta có $\angle \left( {EF;\left( {SAD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;\left( {SAD} \right)} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)$, do đó $SA$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $\left( {SAD} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {SAD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;SA} \right) = \angle ASB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\\SA = AB\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại $A \Rightarrow \angle ASB = {45^0}$.

Vậy $\angle \left( {EF;\left( {SAD} \right)} \right) = {45^0}$.

Chọn A.

Câu 33 (TH) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

- Tính giới hạn bằng cách thay $x =  - 1$ .

- Giải bất phương trình bậc hai.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^4} - 2mx + {m^2} + 3} \right)\\\,\,\,\, = 1 + 2m + {m^2} + 3 = {m^2} + 2m + 4\end{array}$

Do đó

$I < 12 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 < 0 \Leftrightarrow  - 4 < m < 2$.

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}$.

Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Câu 34 (TH) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Sử dụng định lí: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.                                                                                                                                                          

Cách giải:

Đặt $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3$, hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) =  - 1\\f\left( 0 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( { - 1;0} \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1\\f\left( 2 \right) =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {1;2} \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) =  - 1\\f\left( 3 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) < 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {2;3} \right)$.

Do $\left( { - 1;0} \right) \cap \left( {1;2} \right) \cap \left( {2;3} \right) = \emptyset$ nên ta sẽ có 3 nghiệm phân biệt và ${x^3} - 3{x^2} + 3 = 0$ là phương trình bậc ba nên sẽ có tối đa 3 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Câu 35 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

- Sử dụng định lí $\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a$.

- Chứng minh tam giác vuông bằng nhau.

Cách giải:

 

Vì $SI \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SI \bot IA,\,\,SI \bot IB,\,\,SI \bot IC$ $\Rightarrow \Delta SIA,\,\,\Delta SIB,\,\,\Delta SIC$ vuông tại $I$.

Xét các tam giác vuông $\Delta SIA,\,\,\Delta SIB,\,\,\Delta SIC$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}SI\,\,chung\\SA = SB = SC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.$.

$\Rightarrow {\Delta _v}SIA = {\Delta _v}SIB = {\Delta _v}SIC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow IA = IB = IC$ (các cạnh tương ứng).

Vậy $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Chọn C.

Câu 36 (TH) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q$ thỏa mãn $\left| q \right| < 1$ là: $S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}$

Cách giải:

Ta có: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + ... + \dfrac{1}{{{3^n}}}$ là tổng của 1 CSN lùi vô hạn với ${u_1} = \dfrac{1}{3};\,\,q = \dfrac{1}{3}$.

$\Rightarrow \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + ... + \dfrac{1}{{{3^n}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{{1 - \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{2}$.

Khi đó ta có: $S = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 2\end{array} \right.$.

Vậy $a.b = 5.2 = 10$.

Chọn D.

Câu 37 (VD) – Cấp số nhân

Phương pháp:

- Tìm công sai $d$ của cấp số nhân.

- Tính số hạng tổng quát của $S$ là $\dfrac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}}$, sau đó rút gọn và tính tổng $S$.

Cách giải:

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng ta có: $d = {u_2} - {u_1} = 13 - 11 = 2$.

Khi đó ta có

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{{{u_n}\left( {{u_n} + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{{u_n} + 2}}{{{u_1}\left( {{u_n} + 2} \right)}} - \dfrac{{{u_n}}}{{{u_1}\left( {{u_n} + 2} \right)}}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{{u_n}}} - \dfrac{1}{{{u_n} + 2}}} \right] = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{u_n}}} - \dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{99}}{u_{100}}}}\\S = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_3}}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{99}}}} - \dfrac{1}{{{u_{100}}}}} \right)\\S = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_{100}}}}} \right)\\S = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_1} + 99d}}} \right)\\S = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{11}} - \dfrac{1}{{11 + 99.2}}} \right) = \dfrac{9}{{209}}\end{array}$

Chọn A.

Câu 38 (TH) – Cấp số nhân

Phương pháp:

- Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân lùi có số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q$ là ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$, lập và giải hệ phương trình tìm ${u_1},\,\,q$.

- Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên cấp số nhân lùi có số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q$ là: ${S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$

Cách giải:

Gọi số hạng đầu là ${u_1}$ và công bội của cấp số nhân là $q$.

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} =  - 2\\{u_5} = 54\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q =  - 2\\{u_1}{q^4} = 54\end{array} \right.$ $\Rightarrow {q^3} =  - 27 \Leftrightarrow q =  - 3$.

Suy ra ${u_1} = \dfrac{2}{3}$.

Ta có: ${S_{1000}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{1000}}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3}\left( {1 - {3^{1000}}} \right)}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \dfrac{{1 - {3^{1000}}}}{6}$.

Chọn C.

Câu 39 (VD) – Hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

- Gọi $N$ là trung điểm của $AC$, khi đó $MN//AB \Rightarrow \angle \left( {AB;DM} \right) = \left( {MN;DM} \right)$.

- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác để tính góc.

Cách giải:

 

Gọi $N$ là trung điểm của $AC$, khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $\Delta ABC$.

$\Rightarrow MN//AB \Rightarrow \angle \left( {AB;DM} \right) = \angle \left( {MN;DM} \right)$.

Ta có: $MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$, $DM,\,\,DN$ là các đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh $a$ nên $DM = DN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $DMN$ ta có:

$\begin{array}{l}\cos \angle DMN = \dfrac{{D{M^2} + M{N^2} - D{N^2}}}{{2DM.MN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\end{array}$

Vậy $\cos \angle \left( {AB;DM} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Chọn A.

Câu 40 (TH) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng.

Cách giải:

ĐKXĐ của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt {x - 2} }}$ là $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn B.

Câu 41 (TH) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Xác định số điểm mà hàm số không xác định.

Cách giải:

ĐKXĐ của hàm số đã cho là:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + 3{x^2} - 2x - 2 \ne 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 2} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{x^2} + 4x + 2 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 2 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}$

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại 3 điểm $x = 1,\,\,x =  - 2 \pm \sqrt 2$.

Chọn D.

Câu 42 (VD) – Hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

- Gọi $P$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh $\Delta MNP$ vuông tại $P$.

- Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài các cạnh của $\Delta MNP$.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính độ dài $MN$.

Cách giải:

 

Gọi $P$ là trung điểm của $AB$. Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}PM//BD,\,\,PM = \dfrac{1}{2}BD = 4a\\PN//AC,\,\,PN = \dfrac{1}{2}AC = 3a\end{array} \right.$

Lại có $AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow PM \bot PN \Rightarrow \Delta MNP$ vuông tại $P$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $MNP$ ta có:  $MN = \sqrt {P{M^2} + P{N^2}}  = \sqrt {16{a^2} + 9{a^2}}  = 5a$.

Vậy $MN = 5a$.

Chọn C.

Câu 43 (TH) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

- Thay $x =  - 2$ để tính giới hạn.

- Giải phương trình bậc hai tìm $a$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^2} - 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - 2a.\left( { - 2} \right) + 3 + {a^2} = 3\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 7 = 3\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a =  - 2\end{array}$

Chọn C.

Câu 44 (TH) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính giới hạn:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)\end{array}$

Cách giải:

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {10 - 2f\left( x \right)} \right] = 10 - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 10 - 2.7 =  - 4$.

Chọn A.

Câu 45 (VD) – Hàm số liên tục

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - 3x} \right) =  - 2\\f\left( 1 \right) = {m^2} + m - 8\end{array}$

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

$\Rightarrow {m^2} + m - 8 =  - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow S = \left\{ { - 3;2} \right\}$.

Vậy tích các phần tử của $S$ là $- 3.2 =  - 6$.

Chọn C.

Câu 46 (VD) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q$ thỏa mãn $\left| q \right| < 1$ là: $S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}$

Cách giải:

 

- Diện tích của hình vuông $ABCD$ là ${S_1} = {a^2}$.

- Diện tích của hình vuông ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ là ${S_2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$.

- Tương tự diện tích ${S_3},\,\,{S_4}$... lần lượt là $\dfrac{{{a^2}}}{4},\,\,\dfrac{{{a^2}}}{8}$ ...

Các diện tích này lập thành một CSN lùi vô hạn có ${u_1} = {a^2}$ , công bội $q = \dfrac{1}{2}$.

Khi đó tổng diện tích tất cả các hình vuông $ABCD,\,\,{A_1}{B_1}{C_1}{D_1},\,\,{A_2}{B_2}{C_2}{D_2},...$ bằng 8 nên ta có:

$S = \dfrac{{{a^2}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 8 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2\,\,\,\left( {do\,\,a > 0} \right)$

Vậy $a = 2$.

Chọn A.

Câu 47 (VD) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Sử dụng công thức $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)$, lập hệ phương trình và giải hệ tìm $a,\,\,b$.\

- Thay giá trị $a,\,\,b$ tìm được để tính  giá trị biểu thức $P$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a\left( {{x^2} - 1} \right) + b\left( {x - 1} \right) + a + b - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {a\left( {x + 1} \right) + b + \dfrac{{a + b - 5}}{{x - 1}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {a\left( {x + 1} \right) + b} \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + b - 5}}{{x - 1}}\\ = 2a + b + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + b - 5}}{{x - 1}}\end{array}$

Theo bài ra ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 20\\a + b - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 15\\b =  - 10\end{array} \right.$.

Vậy $P = {a^2} + {b^2} - a - b = {15^2} + {\left( { - 10} \right)^2} - 15 - \left( { - 10} \right) = 320$.

Chọn D.

Câu 48 (VDC) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

- Xác định mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Chứng minh $\Delta IAB$ cân tại $I$, gọi $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow IH \bot AB$.

- Tính diện tích ${S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB$, sử dụng BĐT: $ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$.

Cách giải:

 

Ta có các tam giác $ACD$ và $BCD$ là các tam giác đều vì các cạnh đều bằng 4.

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ thì $\left\{ \begin{array}{l}AI \bot CD\\BI \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABI} \right)$. Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ chính là $\left( {ABI} \right)$.

Mặt khác ta có: $AI,\,\,BI$ là các đường cao trong tam giác đều cạnh 4 nên $AI = BI = 4.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3$.

$\Rightarrow \Delta IAB$ cân tại $I$.

Gọi gọi $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow IH \bot AB$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $BHI$ ta có:

$IH = \sqrt {I{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}$

Ta có: ${S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} .x = \dfrac{x}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}$

Ta có: $\dfrac{x}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  \le \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{4} + 12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}}{2} = 6$ , do đó ${S_{\Delta IAB}} \le 6$.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  \Leftrightarrow x = 2\sqrt 6$.

Vậy diện tích tam giác $IAB$ lớn nhất bằng $6$ khi $AB = x = 2\sqrt 6$.

Chọn B.

Câu 49 (VDC) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

- Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$.

- Sử dụng phương pháp nhân liên hợp.

- Tách giới hạn cần tính thành tích hai giới hạn, trong đó một giới hạn đề bài cho.

Cách giải:

Đặt $g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}}$ ta có: $f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)g\left( x \right) + 16$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x - 2} \right)g\left( x \right) + 16} \right] = 16$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {2f\left( x \right) - 16}  - 4}}{{{x^2} + x - 6}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2f\left( x \right) - 16 - 16}}{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16}  + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2f\left( x \right) - 32}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16}  + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16}  + 4} \right)}}\\ = 12.\dfrac{2}{{5.\left( {\sqrt {2.16 - 16}  + 4} \right)}} = \dfrac{3}{5}\end{array}$

Chọn B.

Câu 50 (VDC) – Giới hạn của hàm số

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {4x + 1}  - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4x}}{{x\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{4}{{\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{2a + 1}}\\f\left( 0 \right) = 3\end{array}$

+ Nếu $a =  - \dfrac{1}{2}$ thì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$, do đó hàm số không liên tục tại $x = 0$.

+ Nếu $a \ne  - \dfrac{1}{2}$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{2}{{2a + 1}} = 3 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{6}$.

Khi đó ta có: ${x^2} - x + 36a < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 3$.

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}$.

Vậy bất phương trình ${x^2} - x + 36a < 0$ có 4 nghiệm nguyên.

Chọn A.

Loigiaihay.com