Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 11 - đề số 1 có lời giải chi tiết

Đề bài

A. TRẮC NGHIỆM (4 điểm)

Câu 1. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_1} = 2$ và công bội $q =  - 3$. Giá trị của ${u_3}$ bằng:

A. $27$           B. $- 27$        C. $- 9$         D. $18$

Câu 2. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_1} =  - 5$ và công sai $d = 3$. Tổng của 50 số hạng đầu tiên là:

A. $2345$       B. $6850$       C. $3425$       D. $3500$

Câu 3. Cho cấp số nhân $\left( {{v_n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{v_2} = 2\\{v_5} = 16\end{array} \right.$. Khi đó ta có:

A. ${v_1} =  - 2$       B. ${v_4} = \dfrac{1}{2}$   C. ${v_6} = 64$        D. ${v_7} = 64$

Câu 4. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_n} = \dfrac{1}{{2 - {u_{n - 1}}}},\,\,\forall n > 1\end{array} \right.$. Giá trị của ${u_4}$ bằng:

A. $\dfrac{3}{4}$     B. $\dfrac{4}{5}$     C. $\dfrac{5}{6}$     D. $\dfrac{5}{4}$

Câu 5. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}},\,\,\forall n \ge 1$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn dưới   

B. ${u_5} = \dfrac{{11}}{6}$

C. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy giảm                    

D. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng và bị chặn  

Câu 6. Với số thực $a$ cho trước, giá trị của $\lim \dfrac{{a.n + 2}}{{2n + 1}}$ là:

A. $a$             B. $2a$           C. $\dfrac{a}{2}$     D. $1$

Câu 7. Giá trị của $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n - 2}  - n} \right)$ là:

A. $- 1$         B. $- \dfrac{2}{3}$ C. $- \infty$ D. $+ \infty$

Câu 8. Giá trị của $\lim \dfrac{{{4^n} + {6^n}}}{{{6^{n - 1}} - {5^n}}}$ là:

A. $0$             B. $+ \infty$             C. $6$             D. $\dfrac{1}{6}$

Câu 9. Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ là trung điểm $AB,\,\,N$ là trung điểm $AC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AD}$ đồng phẳng   

B. Ba vectơ $\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CB} ,\,\,\overrightarrow {BD}$ đồng phẳng

C. Ba vectơ $\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN}$ đồng phẳng  

D. Ba vectơ $\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN}$ đồng phẳng  

Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Biết rằng $SA = SB = SC = SD$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $AB//\left( {SCD} \right)$           B. $AC \bot \left( {SBD} \right)$    

C. $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ D. $AD \bot \left( {SAB} \right)$

Câu 11. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, $SA = a$. Khi đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có số đo là:

A. ${30^0}$   B. ${45^0}$  

C. ${135^0}$             D. ${60^0}$

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABC$. Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B,\,\,AC = 2a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, $SA = a$. Khi đó, cosin của góc tạo bởi $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ có giá trị là:

A. $\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}$          B. $\sqrt {\dfrac{2}{5}}$   

C. $\sqrt {\dfrac{2}{3}}$    D. $\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

B – TỰ LUẬN (6 điểm)

Bài 1 (3 điểm):

a) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với công sai $d$. Biết rằng $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.$. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

b) Tính giới hạn $\lim \left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} \right)$.

Bài 2 (3 điểm)

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $AB = BC = a$ và $AD = 2a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, $SA = a$. Kẻ $AH \bot SB$ và $AK \bot SC$ $\left( {H \in SB,\,\,K \in SC} \right)$.

a) Chứng minh $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

b) Chứng minh $SC \bot HK$ và $DC \bot \left( {SAC} \right)$.

c) Tính góc giữa hai đường thẳng $HK$ và $CD$.

Lời giải chi tiết

 

Câu 1 (NB) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q$ là ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$.

Cách giải:

Ta có: ${u_3} = {u_1}.{q^2} = 2.{\left( { - 3} \right)^2} = 18$.

Chọn D.

Câu 2 (NB) – Cấp số cộng

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của CSC có số hạng đầu ${u_1}$, công sai $d$ là ${S_n} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}$.

Cách giải:

Ta có: ${S_{50}} = \dfrac{{\left[ {2.\left( { - 5} \right) + \left( {50 - 1} \right).3} \right].50}}{2} = 3425$.

Chọn C.

Câu 3 (TH) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q$ là ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$.

Cách giải:

Gọi số hạng đầu là ${v_1}$ và công bội là $q$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{v_2} = 2\\{v_5} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_1}q = 2\\{v_1}{q^4} = 16\end{array} \right.$.

Chia vế theo vế 2 phương trình trên ta có ${q^3} = 8 \Leftrightarrow q = 2$.

$\Rightarrow 2{v_1} = 2 \Leftrightarrow {v_1} = 1$.

Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}{v_4} = {v_1}{q^3} = {1.2^3} = 8\\{v_6} = {v_1}{q^5} = {1.2^5} = 32\\{v_7} = {v_1}{q^6} = {1.2^6} = 64\end{array} \right.$.

Vậy đáp án đúng là D.

Chọn D.

Câu 4 (NB) – Dãy số

Phương pháp:

Tính lần lượt ${u_2},\,\,{u_3},\,\,{u_4}$ nhờ công thức truy hồi của dãy số.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{1}{{2 - {u_1}}} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{2}{3}\\{u_3} = \dfrac{1}{{2 - {u_2}}} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{3}{4}\\{u_4} = \dfrac{1}{{2 - {u_3}}} = \dfrac{2}{{2 - \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{4}{5}\end{array}$

Chọn B.

Câu 5 (TH) – Dãy số

Phương pháp:

Xét hiệu $H = {u_{n + 1}} - {u_n}$.

+ Nếu $H > 0\,\,\forall n \ge 1$ thì dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

+ Nếu $H < 0\,\,\forall n \ge 1$ thì dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Cách giải:

Xét hiệu

$\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n},\,\,\forall n \ge 1\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1 + 1}} - \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2n + 3}}{{n + 2}} - \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{n^2} + 5n + 3 - 2{n^2} - 5n - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \ge 1\end{array}$

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Vậy đáp án sai là C.

Chọn C.

Câu 6 (NB) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho $n$.

Cách giải:

Ta có: $\lim \dfrac{{a.n + 2}}{{2n + 1}} = \lim \dfrac{{a + \dfrac{2}{n}}}{{2 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{a}{2}$.

Chọn C.

Câu 7 (TH) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

- Nhân liên hợp.

- Chia cả tử và mẫu cho $n$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 2n - 2}  - n} \right)\\ = \lim \dfrac{{{n^2} - 2n - 2 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - 2n - 2}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{ - 2n - 2}}{{\sqrt {{n^2} - 2n - 2}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{ - 2 - \dfrac{2}{n}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}}  + 1}} =  - 1\end{array}$.

Chọn A.

Câu 8 (TH) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho ${6^n}$.

Cách giải:

Ta có:  $\lim \dfrac{{{4^n} + {6^n}}}{{{6^{n - 1}} - {5^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + 1}}{{\dfrac{1}{6} - {{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)}^n}}} = 6$.

Chọn C.

Câu 9 (TH) – Vectơ trong không gian

Phương pháp:

- Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

- Sử dụng định lí: Trong không gian cho hai vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b$ không cùng phương và vectơ $\overrightarrow c$. Khi đó ba vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số $m,\,\,n$ sao cho $\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b$. Cặp số $m,\,\,n$ là duy nhất.

Cách giải:

 

Ta có: $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow {MN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {CD} } \right)$.

Do đó ba vectơ $\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {MN}$ đồng phẳng.

Chọn C.

Câu 10 (NB) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

Sử dụng định lí $\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)$.

Cách giải:

 

Vì $SA = SC \Rightarrow \Delta SAC$ cân tại $S \Rightarrow SO \bot AC$.

Vì $SB = SD \Rightarrow \Delta SBD$ cân tại $S \Rightarrow SO \bot BD$.

$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Chọn C.

Câu 11 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Sử dụng tỉ số lượng giác để tính góc.

Cách giải:

 

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $\left( {ABC} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA$.

Xét tam giác vuông $SAB$ ta có: $SA = AB = a \Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại $A$.

Vậy $\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle SBA = {45^0}$.

Chọn B.

Câu 12 (VD) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Sử dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Cách giải:

 

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$.

$\Rightarrow SB$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( {SAB} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle BSC$.

Vì $BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC \bot SB$ $\Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại $B$ 

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ $\Rightarrow AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2$.

Xét tam giác vuông $SAB$ có: $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3$.

$\Rightarrow SC = \sqrt {S{B^2} + C{B^2}}  =  a\sqrt 5$

Xét tam giác vuông $SBC$ có: $\cos \angle BSC = \dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 5 }} = \sqrt {\dfrac{3}{5}} = \dfrac {\sqrt{15}}{5}$. 

Chọn A.

B – TỰ LUẬN (6 điểm)

Bài 1 (VD) – Cấp số cộng – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ và tính chất cấp số cộng ${u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}$. Đưa hệ phương trình đã cho về hệ 2 ẩn ${u_4},\,\,d$. Giải hệ tìm ${u_4},\,\,d$. Sau đó tìm ${u_1} = {u_4} - 3d$.

b) Nhân liên hợp, sử dụng hằng đẳng thức ${a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$. Sau đó chia cả tử và mẫu cho $n$ với số mũ cao nhất.

Cách giải:

a) Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_4} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{\left( {{u_4} - 2d} \right)^2} + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{\left( {d - 1 - 2d} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{d^2} + 2d + 1 + {d^2} - 2d + 1 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\2{d^2} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\d =  \pm 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 2\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_4} =  - 4\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_4} - 3d =  - 7\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_4} - 3d = 5\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$

Vậy ${u_1} =  - 7;\,\,d = 3$ hoặc ${u_1} = 5;\,\,d =  - 3$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\lim \left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} \right)\\ = \lim \dfrac{{8{n^3} - 8{n^3} - 5{n^2}}}{{4{n^2} + 2n\sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} \right)}^2}}}\\ = \lim \dfrac{{ - 5{n^2}}}{{4{n^2} + 2n\sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} \right)}^2}}}\\ = \lim \dfrac{{ - 5}}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 + \dfrac{5}{n}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{8 + \dfrac{5}{n}}}} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 5}}{{4 + 2.2 + {2^2}}} = \dfrac{{ - 5}}{{12}}\end{array}$

Bài 2 (VDC) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

a) Sử dụng định lí: $\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)$.

b) Sử dụng định lí: $\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot a$ để chứng minh $SC \bot HK$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$, chứng minh $DC \bot AC$, từ đó chứng minh $DC \bot \left( {SAC} \right)$.

c) Trong $\left( {SCD} \right)$ kẻ $KI//CD\,\,\left( {I \in SD} \right)$, khi đó ta có $\angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right)$.

Tính $\angle HKI = \angle AKH + \angle AKI$. Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và tính chất 2 đường thẳng vuông góc để tính góc.

Cách giải:

 

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$

$\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$.

b) Vì $AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AH \bot SC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\,\,\left( {cmt} \right)\\AK \bot SC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$, khi đó $ABCE$ là hình vuông cạnh $a$.

$\Rightarrow CE = a = \dfrac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại $C$ $\Rightarrow AC \bot CD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\DC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow DC \bot \left( {SAC} \right)$.

c) Trong $\left( {SCD} \right)$ kẻ $KI//CD\,\,\left( {I \in SD} \right)$, khi đó ta có $\angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right)$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAB$ ta có:

$\begin{array}{l}AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}\\ = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAC$ ta có:

$\begin{array}{l}AK = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}\\ = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array}$.

Vì $AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {cmt} \right)$ $\Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow \Delta AHK$ vuông tại $H$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \angle AKH = \dfrac{{AH}}{{AK}}\\ = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow \angle AKH = {60^0}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}KI//CD\\CD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow KI \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow KI \bot AK\end{array}$

$\Rightarrow \angle AKI = {90^0}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle HKI = \angle AKH + \angle AKI\\ = {60^0} + {90^0} = {150^0} > {90^0}\end{array}$.

Vậy

$\begin{array}{l}\angle \left( {HK;CD} \right) = \angle \left( {HK;KI} \right)\\ = {180^0} - \angle HKI = {180^0} - {150^0} = {30^0}\end{array}$.

Loigiaihay.com