Câu hỏi 5 trang 102 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tính tổng: 

\(\displaystyle S = 1 + {1 \over 3} + {1 \over {{3^2}}} + ... + {1 \over {{3^n}}}\)

Lời giải chi tiết

Cấp số nhân có: \({u_1}=1 \), \(\displaystyle q = {1 \over 3}\)

S là tổng của \(n+1\) số hạng đầu tiên

\( \displaystyle \Rightarrow S = {{{u_1}(1 - {q^{n+1}})} \over {1 - q}} = {{1.\left[ {1 - {{({1 \over 3})}^{n+1}}} \right]} \over {1 - {1 \over 3}}} \) \(\displaystyle = {3 \over 2}\left[ {1 - {{({1 \over 3})}^{n+1}}} \right]\)

Cách 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}}\\
\Rightarrow 3S = 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}\\
\Rightarrow 3S = 3 + S - \frac{1}{{{3^n}}}\\
\Rightarrow 2S = 3 - \frac{1}{{{3^n}}}\\
\Rightarrow S = \frac{1}{2}\left( {3 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)
\end{array}\)

 Loigiaihay.com