Câu hỏi 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

So sánh  ${3^n} \,\text {và} \, 8n$ khi $n = 1, 2, 3, 4, 5.$

Phương pháp giải:

Thay lần lượt các giá trị của $n$ và so sánh.

Lời giải chi tiết:

So sánh  ${3^n} \,\text {và} \, 8n$ với $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

$\begin{array}{*{20}{l}} {n{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^1}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }} < {\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}8.1}\\ {n{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^2}\; = {\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}8.2}\\ {n{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^3}\; = {\rm{ }}27{\rm{ }} > {\rm{ }}24{\rm{ }} = {\rm{ }}8.3}\\ {n{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^4}\; = {\rm{ }}81{\rm{ }} > {\rm{ }}32{\rm{ }} = {\rm{ }}8.4}\\ {n{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{3^5}\; = {\rm{ }}243{\rm{ }} > {\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }}8.5} \end{array}$

Quảng cáo

LG b

Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Phương pháp giải:

Từ các kết quả ở ý a) dự đoán kết quả tổng quát $3^n >8n$ với mọi $n ≥ 3$

Lời giải chi tiết:

Dự đoán kết quả tổng quát:  $3^n >8n$  với mọi $n ≥ 3$

- $n = 3$, bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 3$, nghĩa là:

 $3^k >8k$

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với $n = k + 1$, tức là:

 $3^{k+1} >8(k+1)$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

 $3^{k+1} = 3^k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k$

$k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8$

Suy ra:

$3^{k+1} >8k+8= 8(k + 1)$ 

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi $n ≥ 3$

Loigiaihay.com