Bài 7 trang 156 SGK Đại số 10

Giải bài 7 trang 156 SGK Đại số 10. Chứng minh các đồng nhất thức.

Quảng cáo

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các đồng nhất thức.

LG a

\(\displaystyle {{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = \cot x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{1 - \cos x + \cos 2x}}{{\sin 2x - \sin x}}\\
= \dfrac{{1 - \cos x + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{2\sin x\cos x - \sin x}}\\
= \dfrac{{2{{\cos }^2}x - \cos x}}{{2\sin x\cos x - \sin x}}\\
= \dfrac{{\cos x\left( {2\cos x - 1} \right)}}{{\sin x\left( {2\cos x - 1} \right)}}\\
= \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\\
= \cot x 
\end{array}\)

LG b

\(\displaystyle {{{\mathop{\rm \sin x}\nolimits}  + \sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}} = \tan {x \over 2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\\
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha 
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\sin x + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + \cos x + \cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \left( {2.\dfrac{x}{2}} \right) + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + \cos \left( {2.\dfrac{x}{2}} \right) + \cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + 2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - 1 + \cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}{{\cos \dfrac{x}{2}\left( {2\cos \dfrac{x}{2} + 1} \right)}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}\\
= \tan \dfrac{x}{2}
\end{array}\)

LG c

\(\displaystyle {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}} = {\tan ^2}({\pi  \over 4} - x)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha 
\end{array}\)

\(\sin \alpha  = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \, \, {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}\)

\(\displaystyle = {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}\)

\(\displaystyle = \dfrac{{2\cos 2x\left( {1 - \sin 2x} \right)}}{{2\cos 2x\left( {1 + \sin 2x} \right)}}\)

\(\displaystyle = {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}\)
\(\displaystyle = {{1 - \cos ({\pi \over 2} - 2x)} \over {1 + \cos ({\pi \over 2} - 2x)}}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
= \dfrac{{1 - \cos \left[ {2.\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{{1 + \cos \left[ {2.\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}\\
= \dfrac{{1 - \left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{{1 + \left[ {2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right) - 1} \right]}}
\end{array}\)

\(\displaystyle = {{2{{\sin }^2}({\pi \over 4} - x)} \over {2{{\cos }^2}({\pi \over 4} - x)}}\) 
\(\displaystyle = {\tan ^2}({\pi \over 4} - x) \)

Cách khác:

\(\displaystyle VT= {{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}\)

\(\displaystyle = {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}\)

\(\displaystyle = \dfrac{{2\cos 2x\left( {1 - \sin 2x} \right)}}{{2\cos 2x\left( {1 + \sin 2x} \right)}}\)

\(\displaystyle = {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}\)

\(\begin{array}{l}
VP = {\tan ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\\
= \dfrac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}}\\
= \dfrac{{\frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}{{\frac{{1 + \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}\\
= \dfrac{{2.\frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}{{2.\frac{{1 + \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]}}{2}}}\\
= \frac{{1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)}}{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)}}\\
= \frac{{1 - \sin 2x}}{{1 + \sin 2x}}
\end{array}\)

Vậy VT=VP hay ta có đpcm.

LG d

\(\displaystyle \tan x - \tan y = {{\sin (x - y)} \over {\cos x.cosy}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\
\sin a\cos b - \sin b\cos a = \sin \left( {a - b} \right)
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle d) \tan x - \tan y\)

\(\displaystyle = {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }} - {{\sin y} \over {\cos y}}\)

\(\displaystyle = {{\sin {\rm{x}}\cos y - \cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}\)

\(\displaystyle = {{\sin (x - y)} \over {\cos x\cos y}}.\)

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài