Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao

Câu 6.41 trang 203 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.41 trang 203 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh công thức \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\)(với \(0 < \alpha < \dfrac{\pi }{4}\)) bằng “phương pháp hình học” như sau:

Xét tam giác vuông ABC với \(\widehat A = \dfrac{\pi }{2},\widehat B = \alpha .\) Kẻ đường trung trực của đoạn BC cắt AB tại I. Dễ thấy: \(\cos 2\alpha = \dfrac{{AI}}{{IC}};\cos \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) (h. 6.6); từ đó hãy suy ra

\(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).

Lời giải chi tiết

Dễ thấy \(BI = IC,\)

nên

\(\begin{array}{l}\cos 2\alpha = \dfrac{{AI}}{{IC}} = \dfrac{{AI}}{{BI}} = \dfrac{{AB - BI}}{{BI}}\\ = \dfrac{{AB}}{{BI}} - 1 = \dfrac{{AB}}{{BC}}.\dfrac{{2BM}}{{BI}} - 1\end{array}\)

Mà

\(\cos \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{BM}}{{BI}}\), nên \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).

Loigiaihay.com