Câu 6.38 trang 202 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.38 trang 202 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng, với mọi \(\alpha \), với mọi số nguyên k, ta có:

\(\sin \left( {\alpha  + k\dfrac{\pi }{2}} \right) = \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^l}\sin \alpha \,\,\,\,\,nếu\,\,k - 2l\\{\left( { - 1} \right)^l}\cos \alpha \,\,\,\,nếu\,\,k = 2l + 1;\end{array} \right.\)

\(\cos \left( {\alpha  + k\dfrac{\pi }{2}} \right) = \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^l}\cos \alpha \,\,\,\,\,nếu\,\,k = 2l\\{\left( { - 1} \right)^{l + 1}}\sin \alpha \,\,\,\,nếu\,\,k = 2l + 1;\end{array} \right.\)

\(\tan \left( {\alpha  + k\dfrac{\pi }{2}} \right) = \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,nếu\,\,k = 2l + 1\\ - \cot \alpha \,\,\,\,nếu\,\,k = 2l + 1\,\end{array} \right.\)

(khi các biểu thức này có nghĩa)

Lời giải chi tiết

• \(\sin \left( {\alpha  + 2l\dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {\alpha  + l\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^l}\sin \alpha \);

\(\begin{array}{l}\sin \left[ {\alpha  + \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}} \right] = \sin \left( {\alpha  + \dfrac{\pi }{2} + l\pi } \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^l}\sin \left( {\alpha  + \dfrac{\pi }{2}} \right) = {\left( { - 1} \right)^l}\cos \alpha .\end{array}\)

• \(\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha  + 2l\dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\alpha  + l\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^l}\cos \alpha \\\cos \left[ {\alpha  + \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}} \right] = \cos \left( {\alpha  + \dfrac{\pi }{2} + l\pi } \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^l}\cos \left( {\alpha  + \dfrac{\pi }{2}} \right) = {\left( { - 1} \right)^l}\left( { - \sin \alpha } \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^{l + 1}}\sin \alpha \end{array}\)

• Từ đó

\(\begin{array}{l}\tan \left( {\alpha  + 2l\dfrac{\pi }{2}} \right) = \tan \alpha ;\\\tan \left[ {\alpha  + \left( {2l + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}} \right] =  - \cot \alpha .\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close