Câu 6.35 trang 201 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 6.35 trang 201 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính

LG a

\(\cos \dfrac{\pi }{9} + \cos \dfrac{{2\pi }}{9} +  \ldots  + \cos \dfrac{{8\pi }}{9};\)

Lời giải chi tiết:

\(\cos \dfrac{\pi }{9} + \cos \dfrac{{2\pi }}{9} +  \ldots  + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0\), do \(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha .\)

LG b

\({\sin ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{6} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{{18}} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{{18}}\);

Lời giải chi tiết:

Do \(\sin \dfrac{\pi }{3} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{6}\) nên \({\sin ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{6} = 1.\)  

Do \(\sin \dfrac{{7\pi }}{{18}} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{9}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{9}\) nên \({\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{{18}} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{9} = 1\).

Do \(\sin \dfrac{{5\pi }}{{18}} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{2\pi }}{9}} \right) = \cos \dfrac{{2\pi }}{9}\) nên \({\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{{18}} = 1\).

Vậy \({\sin ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{6} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{{18}} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{{18}} = 3\)

LG c

\({\cos ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{6} + {\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\cos ^2}\dfrac{{11\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{13\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9}\);

Lời giải chi tiết:

 Do \(\cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - \sin \dfrac{\pi }{3}\), nên \({\cos ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{6} = 1\).

Do \(\cos \dfrac{{11\pi }}{{18}} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{9}} \right) =  - \sin \dfrac{\pi }{9}\), nên \({\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\cos ^2}\dfrac{{11\pi }}{{18}} = 1\)

Do \(\cos \dfrac{{13\pi }}{{18}} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{2\pi }}{9}} \right) =  - \sin \dfrac{{2\pi }}{9}\), nên \({\cos ^2}\dfrac{{13\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} = 1\)

Vậy \({\cos ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{6} + {\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} + {\cos ^2}\dfrac{{11\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{13\pi }}{{18}} + {\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} = 3\)

LG d

\(\cos \dfrac{\pi }{5} + \cos \dfrac{{2\pi }}{5} +  \ldots  + \cos \dfrac{{9\pi }}{5};\)

Lời giải chi tiết:

Do \(\cos \dfrac{{6\pi }}{5} = \cos \left( {\pi  + \dfrac{\pi }{5}} \right) =  - \cos \dfrac{\pi }{5};\) \(\cos \dfrac{{7\pi }}{5} =  - \cos \dfrac{{2\pi }}{5};\cos \dfrac{{8\pi }}{5} =  - \cos \dfrac{{3\pi }}{5};\) \(\cos \dfrac{{9\pi }}{5} =  - \cos \dfrac{{4\pi }}{5};\cos \pi  =  - 1\) nên \(\cos \dfrac{\pi }{5} + \cos \dfrac{{2\pi }}{5} +  \ldots  + \cos \dfrac{{9\pi }}{5} =  - 1\)

LG e

\(\sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \dfrac{{2\pi }}{5} +  \ldots  + \sin \dfrac{{9\pi }}{5}\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự đối với sin, nhưng ở đây \(\sin \pi  = 0\), ta có :

\(\sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \dfrac{{2\pi }}{5} +  \ldots  + \sin \dfrac{{9\pi }}{5} = 0.\)

(Chú ý: Ta cũng có thể xét thập giác đều có các đỉnh là \({A_k}\) là các điểm trên đường tròn lượng giác, xác định bởi các số \(\dfrac{{k\pi }}{5}\) (k = 1; 2; 3; 4; ....; 9; 10) và nhận xét rằng \(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  +  \ldots \overrightarrow {O{A_{10}}}  = \overrightarrow 0 \))

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close