Câu 4.5 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 2} \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {n + 1}}\,\,\,\,\, \hfill \cr} \right.\)

 

a

Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) và

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\) với mọi n

 

Lời giải chi tiết:

- Chứng minh \({u_n} > 0\) với mọi n bằng phương pháp quy nạp theo n:

+) Với  n = 1 suy ra \({u_1} = {1 \over 2}>0\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(u_k>0\)

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

\({u_{k + 1}} = {{{u_k}} \over {k+1}} >0\) vì \(u_k>0\) và k+1>0

Suy ra \({u_n} > 0\) với mọi n (đpcm)

- Chứng minh \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\) với mọi n:

\({u_n} > 0\) với mọi n nên ta có:

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}=\frac{1}{n+1} \le {1 \over 2}\) vì \(n+1\ge 2\) với mọi \(n \ge 1\)

 

b

Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\)

 

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {u_2} \le {1 \over 2}{u_1} \cr 
& {u_3} \le {1 \over 2}{u_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{u_1},... \cr 
& 0 \le {u_n} < {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} \cr} \)\(=\left( {{1 \over 2}} \right)^n\)

\(\lim {\left( {{1\over 2}} \right)^n} = 0\)

Theo nguyên lý kẹp ta có \(\lim {u_n} = 0\)

Loigiaihay.com

 

Quảng cáo
list
close
Gửi bài