Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 4} \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = u_n^2 + {{{u_n}} \over 2}\,\,\,\,\,voi\,\,moi\,\,\,n \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng

 

LG a

\(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n  

 

Lời giải chi tiết:

\(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n     (1)

+) Với  n = 1 \({u_1} = {1 \over 4}\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(0<u_k\le {1 \over 4}\)

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

\({u_{k + 1}} = u_k^2 + {{{u_k}} \over 2} = {u_k}.\left( {{u_k} + {1 \over 2}} \right)  \le {1 \over 4}\)

\(\left( {do\,\,0 < {u_k} \le {1 \over 4}} \right)\)

Vậy (1) đã được chứng minh.

 

LG b

 \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {3 \over 4}\)với mọi n

Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\)

 

Lời giải chi tiết:

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {u_n} + {1 \over 2} \le {1 \over 4} + {1 \over 2} = {3 \over 4}\) với mọi n

Từ đó suy ra 

\(\eqalign{
& {u_2} \le {3 \over 4}{u_1} \cr 
& {u_3} \le {3 \over 4}{u_2} \le {\left( {{3 \over 4}} \right)^2}{u_1},... \cr 
& 0 \le {u_n} < {\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 4}{\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}} \cr} \)

\(\lim {{1 \over 4}{\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}} } = 0\)

Theo nguyên lý kẹp ta có \(\lim {u_n} = 0\)

Loigiaihay.com

 

Quảng cáo
list
close
Gửi bài