Câu 4.18 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Cho ba số dương a, b, c, chứng minh rằng :

\(\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)\left( {{\rm{a}} + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right) \ge 8\)

Lời giải chi tiết

Với \(a > 0, b > 0, c > 0\) thì

\(1 + \dfrac{a}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b}}  \ge 0;\)

\(\,1 + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}} ;\)

\(\,1 + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{a}}  \ge 0\)

Từ đó suy ra \(\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right) \left( {1 + \dfrac{b}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{a}} \right) \ge {2^3}\sqrt {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}\)

\(  = 8\)

Loigiaihay.com