Câu 4.19 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng : Nếu \(0 < a < b\) thì \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b}  < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\)

Lời giải chi tiết

Do \(0 < a < b\) nên \(\dfrac{a}{b} < 1\) suy ra

\(a\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 1 + \dfrac{a}{b} < 2\) tức là \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.\)              (1)

Lại có \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \) nên \(\dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} .\)                   (2)

Do \(0 < a < b\) nên \(\sqrt {{\rm{a}}b}  < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\)          (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh.

Loigiaihay.com