Câu 4.22 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 50 cm. Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp (không nắp) có thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi cạnh hình vuông được cắt là \(9x\) (\(0 < x < 25\), đơn vị : xentimét)

Thể tích V của cái hộp là

\(V = x\left( {80 - 2{x}} \right)\left( {50 - 2{x}} \right)\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}12V = 6{x}\left( {80 - 2{x}} \right)\left( {100 - 4{x}} \right)\\ \le {\left( {\dfrac{{6{x} + 80 - 2{x} + 100 - 4{x}}}{3}} \right)^3} = {60^{3.}}\end{array}\)

Suy ra \(V \le \dfrac{{{{60}^3}}}{{12}}\) hay \(V \le 18\,000\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(6x = 80 – 2x = 100 – 4x\) tức là \(x = 10.\)

Giá trị lớn nhất của V là 18000 cm³ khi \(x = 10 (cm)\)

Vậy phải cắt đi ở bốn góc vuông của hình chữ nhật ban đầu những hình vuông có cạnh 10 cm.

Nhận xét. Nếu xét \(4V = 4{x}\left( {80 - 2{x}} \right)\left( {50 - 2{x}} \right)\) thì 4V là tích của ba thừa số có tổng không đổi (bằng 130), ta vẫn có bất đẳng thức \(4V \le {\left( {\dfrac{{130}}{3}} \right)^3}\) nhưng đẳng thức không thể xảy ra và không có giá trị nào của x thỏa mãn

\(80 - 2{x} = 50 - 2{x}\)

Loigiaihay.com