Câu 4.16 trang 104 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.16 trang 104 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Quảng cáo

Đề bài

Để chứng minh \(x\left( {1 - x} \right) \le \dfrac{1}{4}\) với mọi x, bạn An đã làm như sau :

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số \(x\) và \(1 – x\), ta có

\(\sqrt {{\rm{x}}\left( {1 - x} \right)}  \le \dfrac{{{\rm{x}} + 1 - x}}{2} = \dfrac{1}{2}\)

Do đó

\(x\left( {1 - x} \right) \le \dfrac{1}{4}\)

Theo em, bạn An giải như thế đúng hay sai, vì sao ? Em giải bài này như thế nào ?

 

Lời giải chi tiết

Bạn An giải như vậy là sai.

Sai lầm của bạn An là không để ý điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {{\rm{a}}b} \) là \(a ≥ 0, b ≥ 0\). Trong bài này \(x\) và \(1 – x\) chỉ không âm khi \(x \in \left[ {0;1} \right].\)

Lời giải đúng là :

\(x\left( {1 - x} \right) \le \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow  - {x^2} + {\rm{x}} \le \dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x + \dfrac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{x}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\) bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với mọi x.

Loigiaihay.com

 

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close