Bài 3 trang 121 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh $SA$ bằng $a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

a) Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng $(α)$ đi qua $A$ và vuông góc với cạnh $SC$ lần lượt cắt $SB, SC$ và $SD$ tại $B’, C’$ và $D’$. Chứng minh $B’D’$ song song với $BD$ và $AB’$ vuông góc với $SB$.

Lời giải chi tiết

a) $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ $\Rightarrow SA \bot AB;\,\,SA \bot AD$$\Rightarrow \Delta SAB,\,\,\Delta SAD$ là các tam giác vuông tại $A$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC$ vuông tại $B$.

Tương tự:

$\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD$$\Rightarrow \Delta SCD$ vuông tại $D$.

b) Ta có $BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AB' \bot BC.$

$\left\{ \begin{array}{l} SC \bot \left( \alpha \right)\\ AB' \subset \left( \alpha \right) \end{array} \right. \Rightarrow SC \bot AB'$

$\left\{ \begin{array}{l} AB' \bot BC\\ AB' \bot SC \end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot \left( {SBC} \right)$

$\Rightarrow AB' \bot SB$.

Chứng minh tương tự ta có $AD' \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AD' \bot SD$.

Dễ thấy $\Delta SAD = \Delta SAB\left( {c.g.c} \right)$ $\Rightarrow AB' = AD'$ (hai đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh)

$\Rightarrow \Delta SAD' = \Delta SAB'$ $\Rightarrow SD' = SB'$ (cạnh tương ứng)

Mà $SD = SB$ (do $\Delta SAD = \Delta SAB$) nên $\dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} \Rightarrow B'D'//BD$

Cách khác:

b) Ta có thể chứng minh $B'D'//BD$ như sau:

$\begin{array}{l} SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\\ \left\{ \begin{array}{l} BD \bot AC\\ BD \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow BD \bot SC\\ SC \bot \left( {AB'C'D'} \right)\\ \Rightarrow BD//\left( {AB'C'D'} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} BD//\left( {AB'C'D'} \right)\\ BD \subset \left( {SBD} \right)\\ \left( {SBD} \right) \cap \left( {AB'C'D'} \right) = B'D' \end{array} \right.\\ \Rightarrow B'D'//BD \end{array}$

Loigiaihay.com