Bài 6 trang 122 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$  cạnh $a$.

a) Chứng minh $BC’$ vuông góc với mặt phẳng $(A’B’CD)$

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của $AB’$ và $BC’$

Lời giải chi tiết

a) Ta có tứ giác $BCC'B’$ là hình vuông nên $BC’ ⊥ B’C$   (1)

Mặt khác $A’B’ ⊥ (BCC’B’)⇒ A’B’ ⊥ BC’$                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $BC’⊥ (A’B’CD)$

b) Do $AD’//BC’$ nên mặt phẳng $(AB’D’)$ là mặt phẳng chứa $AB’$ và song song với $BC’$.

Ta tìm hình chiếu của $BC’$ trên $mp (AB’D’)$

Gọi $E, F$ là tâm của các mặt bên $ADD'A’$ và $BCC'B’$

Từ $F$ kẻ $FI ⊥ B’E$. Ta có $BC’ //AD'$ mà $BC’ ⊥ (A’B’CD)$

$⇒ AD’ ⊥ (A’B’CD)$ và $IF ⊂(A’B’CD)$

$AD’ ⊥ IF$   (3)

$EB’⊥IF$   (4)

Từ (3) và (4) suy ra : $IF ⊥ (AB’D’)$

Vậy $I$ là hình chiếu của $F$ trên $mp (AB’D’)$. Qua $I$ ta dựng đường thẳng song song với $BC’$ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của $BC’$ trên mp $(AB’D’)$

Đường thẳng qua $I$ song song với $BC’$ cắt $AB’$ tại $K$. Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $IF$, đường này cắt $BC’$ tại $H$. $KH$ chính là đường vuông góc chung của $AB’$ và $BC’$. Thật vậy:

${\rm{IF}} \bot (AB'D') \Rightarrow IF ⊥ AB'$ và $KH // IF$ suy ra $KH ⊥ AB'$

$\left. \matrix{ BC' \bot (A'B'CD) \hfill \cr {\rm{IF}} \subset {\rm{(A'B'CD)}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{ {\rm{IF}} \bot {\rm{BC'}} \hfill \cr {\rm{KH//IF}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow KH \bot BC'$

Tam giác $EFB’$ vuông góc tại $F$, $FI$ là đường cao thuộc cạnh huyền nên $\dfrac{1}{{I{F^2}}} = \dfrac{1}{{F{B^2}}} + \dfrac{1}{{F{E^2}}}$ với $\left\{ \matrix{FB' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr {\rm{EF = a}} \hfill \cr} \right.$

Ta tính ra: ${\rm{IF}} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow KH = {\rm{IF = }}{{a\sqrt 3 } \over 3}$

Loigiaihay.com