Câu 2.96 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng caoTìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm: Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm: LG a \({25^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + m = 0\) Lời giải chi tiết: Đặt \({5^{x + 1}} = t\left( {t > 0} \right)\) . Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình \({t^2} - 5t + m = 0\) (1) có ít nhất một nghiệm dương. Điều kiện để (1) có nghiệm là \(\Delta = 25 - 4m \ge 0\) hay \(m \le \dfrac{25}{4}\). Gọi các nghiệm của (1) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét \({t_1} + {t_2} = 5\) suy ra \({t_2} > 0\). Do đó nếu (1) có nghiệm thì luôn có nghiệm dương. Suy ra phương trình (1) có ít nhất nghiệm dương \(\Leftrightarrow m \le \dfrac{25}{4}\) Hay phương trình đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow m \le \dfrac{25}{4}\). LG b \({\left( {{1 \over 9}} \right)^x} - m.{\left( {{1 \over 3}} \right)^x} + 2m + 1 = 0.\) Lời giải chi tiết: Đặt \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\). Bài toán trở thành Tìm m để phương trình \({t^2} - mt + 2m + 1 = 0\) (2) có ít nhất một nghiệm dương. Điều kiện để (2) có nghiệm là \(\Delta = {m^2} - 4\left(2 {m + 1} \right)\\ = {m^2} - 8m - 4 \ge 0\) hay \(m \le 4 - 2\sqrt 5 \) hoặc \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) Gọi các nghiệm của (2) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét \({t_1} + {t_2} = m;{t_1}{t_2} = 2m + 1\) - Với \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} = m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) suy ra \({t_2} > 0\) - Với \(m < - {1 \over 2}\) thì \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_2} > 0\) - Với \( - {1 \over 2} < m < 4 - 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} < 0\) và \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_1} < {t_2} < 0\) Vậy với \(m < - {1 \over 2}\) hoặc \(m \ge 4 + \sqrt 5 \) thì phương trình (2) có ít nhất nghiệm \({t_2} > 0\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm. Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu trực tiếp với \(\Delta = {m^2} - 8m - 4;S = m;P = 2m + 1\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|