Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10

Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Quảng cáo

Đề bài

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Gọi \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó tỉ số \({R \over r}\) là:

A. \(1 + \sqrt 2\)

B. \({{2 + \sqrt 2 } \over 2}\)

C. \({{\sqrt 2  - 1} \over 2}\)

D. \({{1 + \sqrt 2 } \over 2}\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính bán kính R.

- Tính diện tích tam giác và nửa chu vi suy ra r.

- Tính tỉ số.

Lời giải chi tiết

Đặt AB=AC=a.

+) Tam giác ABC vuông tại A nên theo Pitago ta có: \(BC =AB^2+AC^2\) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2  \)

\(\Rightarrow R =\frac{1}{2}BC= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

+) Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2}\) \(= \frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Mà \({S_{ABC}} = pr\)

\(\Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2}}} \) \(= \frac{{{a^2}}}{2}:\frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{2}{{2a + a\sqrt 2 }} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\)

\(\Rightarrow \frac{R}{r}\) \( = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}}\)

\(= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{2 + \sqrt 2 }}{a}\) \( = \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{2} = \sqrt 2  + 1\)

Vậy chọn A.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close