Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10

Đề bài

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Khi đó tỉ số ${R \over r}$ là:

A. $1 + \sqrt 2$

B. ${{2 + \sqrt 2 } \over 2}$

C. ${{\sqrt 2  - 1} \over 2}$

D. ${{1 + \sqrt 2 } \over 2}$

Lời giải chi tiết

Đặt AB=AC=a.

+) Tam giác ABC vuông tại A nên theo Pitago ta có: $BC =AB^2+AC^2$ $= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

$\Rightarrow R =\frac{1}{2}BC= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

+) Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2}$ $= \frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2}$

Ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}$

Mà ${S_{ABC}} = pr$

$\Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2}}}$ $= \frac{{{a^2}}}{2}:\frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{2}{{2a + a\sqrt 2 }} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}$

$\Rightarrow \frac{R}{r}$ $= \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}}$

$= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{2 + \sqrt 2 }}{a}$ $= \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{2} = \sqrt 2  + 1$

Vậy chọn A.

Loigiaihay.com