Bài 2.7 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài 2.7 trang 30 sách bài tập Đại số 10 Nâng cao. Bằng cách xét tỉ số...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Bằng cách xét tỉ số \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}}\), hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khoảng đã cho:

LG a

\(y = {x^2} + 4x + 1\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {x_2^2 + 4{x_2} + 1} \right) - \left( {x_1^2 + 4{x_1} + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + \left( {4{x_2} - 4{x_1}} \right) + \left( {1 - 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1} + 4} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= {x_2} + {x_1} + 4
\end{array}\)

Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right),\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 > 0\) nên hàm số đồng biến.

LG b

\(y =  - {x^2} + 2x + 5\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( { - x_2^2 + 2{x_2} + 5} \right) - \left( { - x_1^2 + 2{x_1} + 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( { - x_2^2 + x_1^2} \right) + \left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right) + \left( {5 - 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{ - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( { - {x_2} - {x_1} + 2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= - {x_2} - {x_1} + 2
\end{array}\)

Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\) ta có \( - {x_2} - {x_1} + 2 > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) ta có \( - {x_2} - {x_1} + 2 < 0\) nên hàm số nghịch biến.

LG c

\(y = {x \over {x + 1}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

Với hai số phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thuộc tập xác định của hàm số, ta có :

\(\eqalign{
& f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = {{{x_2}} \over {{x_2} + 1}} - {{{x_1}} \over {{x_1} + 1}} \cr 
& = \frac{{{x_2}\left( {{x_1} + 1} \right) - {x_1}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}} \cr&= \frac{{{x_2}{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - {x_1}}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}\cr&= {{{x_2} - {x_1}} \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}, \cr 
& {{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} \cr} \)

Do đó:

- Nếu \(x_1 < -1\) và \(x_2 < -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

- Nếu \(x_1 > -1\) và \(x_2 > -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

LG d

\(y = {{2x + 3} \over { - x + 2}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)\\
= \frac{{2{x_2} + 3}}{{ - {x_2} + 2}} - \frac{{2{x_1} + 3}}{{ - {x_1} + 2}}\\
= \frac{{\left( {2{x_2} + 3} \right)\left( { - {x_1} + 2} \right) - \left( {2{x_1} + 3} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 2{x_2}{x_1} - 3{x_1} + 4{x_2} + 6 + 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} - 4{x_1} - 6}}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{7{x_2} - 7{x_1}}}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{7\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}\\
\Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{7}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}
\end{array}\)

Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) .

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !

Quảng cáo

Xem thêm tại đây: Bài 1: Đại cương về hàm số
list
close
Gửi bài Gửi bài