Bài 2.7 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao

LG a

\(y = {x^2} + 4x + 1\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {x_2^2 + 4{x_2} + 1} \right) - \left( {x_1^2 + 4{x_1} + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + \left( {4{x_2} - 4{x_1}} \right) + \left( {1 - 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1} + 4} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= {x_2} + {x_1} + 4
\end{array}\)

Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right),\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 > 0\) nên hàm số đồng biến.

LG b

\(y =  - {x^2} + 2x + 5\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( { - x_2^2 + 2{x_2} + 5} \right) - \left( { - x_1^2 + 2{x_1} + 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( { - x_2^2 + x_1^2} \right) + \left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right) + \left( {5 - 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{ - \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( { - {x_2} - {x_1} + 2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= - {x_2} - {x_1} + 2
\end{array}\)

Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\) ta có \( - {x_2} - {x_1} + 2 > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) ta có \( - {x_2} - {x_1} + 2 < 0\) nên hàm số nghịch biến.

LG c

\(y = {x \over {x + 1}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

Với hai số phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thuộc tập xác định của hàm số, ta có :

\(\eqalign{
& f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = {{{x_2}} \over {{x_2} + 1}} - {{{x_1}} \over {{x_1} + 1}} \cr 
& = \frac{{{x_2}\left( {{x_1} + 1} \right) - {x_1}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}} \cr&= \frac{{{x_2}{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - {x_1}}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}\cr&= {{{x_2} - {x_1}} \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}, \cr 
& {{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} \cr} \)

Do đó:

- Nếu \(x_1 < -1\) và \(x_2 < -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

- Nếu \(x_1 > -1\) và \(x_2 > -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

LG d

\(y = {{2x + 3} \over { - x + 2}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)\\
= \frac{{2{x_2} + 3}}{{ - {x_2} + 2}} - \frac{{2{x_1} + 3}}{{ - {x_1} + 2}}\\
= \frac{{\left( {2{x_2} + 3} \right)\left( { - {x_1} + 2} \right) - \left( {2{x_1} + 3} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 2{x_2}{x_1} - 3{x_1} + 4{x_2} + 6 + 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} - 4{x_1} - 6}}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{7{x_2} - 7{x_1}}}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{7\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}\\
\Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{7}{{\left( { - {x_1} + 2} \right)\left( { - {x_2} + 2} \right)}}
\end{array}\)

Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) .

Loigiaihay.com