Bài 1.26 trang 14 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Hãy biểu diễn hán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x.

Lời giải chi tiết:

Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài \(\overparen{AB}\) của quạt tròn dùng làm phễu, nên ta có \(2\pi r = Rx\)

Do đó \(r = {{Rx} \over {2\pi }}\)

và \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{{R^2}{x^2}} \over {4{\pi ^2}}}}  \)\(= {R \over {2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \)

LG b

Tính thể tích hình nón theo R và x.

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình nón là

\(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} ,\)\(0 < x < 2\pi \)

LG c

Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết:

Ta tìm \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) sao cho tại đó V đạt giá trị lớn nhất

\(V' = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}.{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)} \over {\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)

Với \(0 < x < 2\pi \), ta có

\(V' = 0 \Leftrightarrow 8{\pi ^2} - 3{x^2} = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = {{2\sqrt 6 } \over 3}\pi \approx 1,63\pi \)

Hình nón có thể tích lớn nhất khi \(x = {{2\sqrt 6\pi } \over 3} \approx 1,63\pi \)

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;2\pi } \right)} V = V({{2\sqrt 6 \pi} \over 3}) = {{2\sqrt 3 } \over {27}}\pi {R^3}\)

Loigiaihay.com