Câu 10 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

LG a

${81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30$

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ $t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)$

Khi đó: ${81^{{{\sin }^2}x}} = {81^{1- {{\cos }^2}x}} = {{81} \over t}$

Phương trình trở thành:

$\eqalign{ & {{81} \over t} + t = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 27 \hfill \cr  t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{81^{{{\cos }^2}x}} = 27\\{81^{{{\cos }^2}x}} = 3\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{{3^{4{{\cos }^2}x}} = {3^3} \hfill \cr {3^{4{{\cos }^2}x}} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{4{\cos ^2}x = 3 \hfill \cr 4{\cos ^2}x = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{2(1 + \cos 2x) = 3 \hfill \cr 2(1 + \cos 2x) = 1 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \cr}$ 

LG b

${\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2$

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn ${\log _{\frac{1}{2}}}x$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5 = 9 \cr  & \Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}} - 4 = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\log _{{1 \over 2}}}x = - 1 \hfill \cr  {\log _{{1 \over 2}}}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr  x = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr}$ 

Vậy $S = {\rm{\{ }}{1 \over {16}};\,2\}$

LG c

${4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0

$\eqalign{ & {4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0 \cr  &  \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {2.3^{\log {x^2}}}{.3^2} = 0\cr & \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.3^{2\log x}} = 0\cr &\Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.9^{\log x}} = 0 \cr}$ 

Chia hai vế phương trình 4^logx ta được:

$4 - {({3 \over 2})^{\log x}} - 18.{({9 \over 4})^{\log x}} = 0$

Đặt $t = {({3 \over 2})^{\log x}}\,\,(t > 0)$ ta có phương trình:

$18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = {4 \over 9} \hfill \cr  t = - {1 \over 2}\,\,(loai) \hfill \cr} \right.$

$\eqalign{ & t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {({3 \over 2})^{\log x}} = {({3 \over 2})^{-2}} \cr &\Leftrightarrow \log x = - 2 \cr  & \Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 \over {100}} \cr}$

LG d

$\left\{ \matrix{ {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr  {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0; y > 0

$\eqalign{ & {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 \over 2}}} \cr &\Leftrightarrow x - 3y = {3 \over 2}\,\,\,\,\,(1) \cr  & {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr&\Leftrightarrow {1 \over 2}{\log _3}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr  & \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{x} + 1 = {\log _3}9y\cr &\Leftrightarrow {\log _3}{3 \over x} = {\log _3}(9y) \Leftrightarrow {3 \over x} = 9y \cr &\Leftrightarrow xy = {1 \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{ \matrix{ x - 3y = {3 \over 2} \hfill \cr  xy = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr  ({3 \over 2} + 3y)y = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr  3{y^2} + {3 \over 2}y - {1 \over 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr  y = {1 \over 6},y=-{2 \over 3}(loai) \hfill \cr} \right.$ 

Vậy $S = {\rm{\{ }}(2,\,{1 \over 6}){\rm{\} }}$

 Loigiaihay.com