Câu 12 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao

LG a

y = x³ (1 + x⁴)³

Phương pháp giải:

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến u = 1 + x⁴

Lời giải chi tiết:

Đặt u = 1 + x⁴

$\eqalign{ & \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4} \cr  & \int {{x^3}(1 + {x^4})dx = {1 \over 4}} \int {{u^3}du} \cr &= {{{u^4}} \over {16}} + C \cr&= {1 \over {16}}{(1 + {x^4})^4} + C \cr}$ 

LG b

y = cosx sin2x

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác $\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\int {\sin 2x.\cos xdx = {1 \over 2}} \int {(\sin3x +\sin x)dx}$ $= \frac{1}{2}\left( { - \dfrac{{\cos 3x}}{3} - \cos x} \right) + C$

$=  - {1 \over 6} \cos 3x - {1 \over 2}\cos x + C$

Cách khác:

Tìm F(x) = ∫cosx.sin2x dx=2 ∫cos²x.sinxdx

Đặt cosx = u => -sinxdx=du => sinxdx=-du. Ta có:

$F\left( x \right) = 2\int {{u^2}.\left( { - du} \right)}  =  - 2\int {{u^2}du}$ $=  - \frac{2}{3}{u^3} + C =  - \frac{2}{3}{\cos ^3}u + C$

LG c

$y = {x \over {{{\cos }^2}x}}$

Phương pháp giải:

Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr  dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr  v = \tan x \hfill \cr} \right.$

Do đó:

$\eqalign{ & \int {{x \over {{{\cos }^2}x}}} dx = x\tan x - \int {\tan xdx } \cr  & = x\tan x - \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \cr &= x\tan x + \int {{{d(cosx)} \over {cosx}}} \cr &= x\tan x + \ln |cosx| + C \cr}$

Loigiaihay.com