Câu 14 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}}$

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến $x=\tan t$

Lời giải chi tiết:

Đặt $x = \tan t \Rightarrow dx = {1 \over {{{\cos }^2}t}}dt$ $= \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt$

Đổi cận:

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4} \end{array}$

$\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{(1+\tan ^2 t)dt} \over {{{\tan }^2}t + 1}}}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {dt}  = {\pi  \over 4}$

LG b

$\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$I = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{{(x + {1 \over 2})}^2} + {{({{\sqrt 3 } \over 2})}^2}}}}$

Đặt $x + {1 \over 2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\tan t$ $\Rightarrow dx = {{\sqrt 3 } \over 2}(1 + {\tan ^2}t)dt$

Đổi cận:

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\\ x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{3} \end{array}$

$I  = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt}}{{\frac{3}{4}{{\tan }^2}t + \frac{3}{4}}}}$ $= \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt}}{{\frac{3}{4}\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}}$ $= \int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 3}} {{{{{\sqrt 3 } \over 2}dt} \over {{3 \over 4}}}}  = {4 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}.{\pi  \over 6} = {{\sqrt 3 \pi } \over 9}$ 

LG c

$\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}$

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.

Lời giải chi tiết:

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

Do đó: $\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}$ $= {x^2}{e^x}|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = e - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx\,\,\,\,\,\,\,(*)} }$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr  dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr  v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

Suy ra:

$\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = x{e^x}|_0^1}  - \int\limits_0^1 {{e^x}dx}$ $= e - {e^x}|_0^1=e-(e-1)= 1$ 

Từ (*) suy ra:  $\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  = e - 2$

 Loigiaihay.com