Bài 97 trang 105 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$. Trên $AC$ lấy một điểm $M$ và vẽ đường tròn đường kính $MC$. Kẻ $BM$ cắt đường tròn tại $D$. Đường thẳng $DA$ cắt đường tròn tại $S$. Chứng minh rằng:

a) $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp;

b) $\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}$ ;

c) $CA$ là tia phân giác của góc $SCB$ 

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có góc $\widehat {MDC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$ nên $\widehat {MDC} = {90^0}$

$\Rightarrow$ $∆CDB$ là tam giác vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.

Ta có $∆ABC$ vuông tại $A$.

Do đó $∆ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$.

Ta có $A$ và $D$ là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn $BC$ dưới một góc $90^0$ không đổi nên tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

b) Trong đường tròn (I): $\widehat {AB{\rm{D}}}$=$\widehat {AC{\rm{D}}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AD$.

Vậy $\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}$

c) Ta có:

$\widehat {ADB} + \widehat {BDS} = {180^0}$ ( 2 góc kề bù)

Mà $\widehat {MCS} + \widehat {MDS} = {180^0}$ (tứ giác CMDS nội tiếp đường tròn (O))

Từ đó ta có: $\widehat {ADB}=\widehat {MCS}$ (1)

Lại có tứ giác ABCD nội tiếp nên $\widehat {ADB}=\widehat {ACB}$(góc nội tiếp cùng chắn cung AB (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\widehat {MCS}=\widehat {ACB}$

Vậy tia $CA$ là tia phân giác của góc $SCB$