Lý thuyết Ôn tập chương 4. Góc với đường tròn

1. Góc ở tâm 

Định nghĩa góc ở tâm

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Số đo cung

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360^0}$ và số đo của cung nhỏ (có chung $2$  mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng ${180^0}$ . Cả đường tròn có số đo ${360^0}.$ Cung không có số đo ${0^0}$ (cung có $2$  mút trùng nhau).

So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

Định lý

Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$  thì 

số đo cung $AB =$số đo cung $AC +$ số đo cung $BC$.

2. Liên hệ giữa cung và dây

Định lý 1:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+)  Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

+) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Định lý 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

+) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Chú ý

+) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây ( không đi qua tâm ) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

3. Góc nội tiếp

Định nghĩa:

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

- Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ: Trên hình $2$, góc $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$

Định lý

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ: Trên hình $2$, số đo góc $\widehat {ACB}$ bằng nửa số đo cung nhỏ $AB$ .

Hệ quả

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ$) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Định nghĩa:

Cho đường tròn tâm $(O)$ có $Ax$ là tia tiếp tuyến tại tiếp điểm $A$ và dây cung $AB.$ Khi đó, góc $BAx$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Ví dụ : Góc $BAx$ (hình $3$) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Ax$ và dây cung $AB$ .

Định lý:

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ: Số đo góc $BAx$ (hình $3$) bằng nửa số đo cung nhỏ $AB$ .

Hệ quả:

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

5. Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

a. Góc có đỉnh bên trong đường tròn

Định nghĩa: Trong hình dưới , góc $BIC$ nằm trong đường tròn $(O)$ được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

Định lý: Số đo của góc đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ: Trong hình trên, $\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}$(số đo cung $BC +$ số đo cung $AD$ ).

b. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung  với đường tròn (hình $2,3,4$ )  là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.

Định lý: Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. 

6. Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

Định nghĩa

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

Định lý

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

7. Tứ giác nội tiếp

Định nghĩa

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Định lý

- Trong  một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$.

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm ( mà có thể xác định được ). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc $\alpha$.

Chú ý : Trong các hình đã học thì hình chữ nhật , hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.

8. Độ dài đường tròn, cung tròn

Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Cho  đường tròn $\left( {O;R} \right)$, độ dài $\left( C \right)$ của đường tròn ( hay chu vi của đường tròn) là

$C = 2\pi R\,$hay $C = \pi d\,\,$với $d = 2R$ là đường kính của $\left( O \right)$ .

Công thức tính độ dài cung tròn

 Trên đường tròn bán kính $R$ , độ dài $l$ của một cung $n^\circ$ được tính theo công thức $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,$.

9. Diện tích hình tròn, quạt tròn

Công thức tính diện tích hình tròn

Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức $S = \pi {R^2}$

Công thức tính diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung $n^\circ$ được tính theo công thức

$S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\,\,hay\,\,\,S = \dfrac{{l.{\rm{R}}}}{2}$ ( với $l$ là độ dài cung $n^\circ$của hình quạt tròn).