Bài 96 trang 105 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tia phân giác của góc $A$ cắt đường tròn tại $M$. Vẽ đường cao $AH$. Chứng minh rằng:

a) $OM$ đi qua trung điểm của dây $BC$.

b) $AM$ là tia phân giác của góc $OAH$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $AM$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAM} = \widehat {MAC}$  

$\Rightarrow$ $\overparen{BM}$=$\overparen{MC}$ ( 2 góc nội tiếp bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)

$\Rightarrow$ $M$ là điểm chính giữa cung $BC$  

Vậy $OM \bot BC$ và $OM$ đi qua trung điểm của $BC$ (định lí)

b) Ta có : $OM \bot BC$ và $AH\bot BC$ nên $AH//OM$

$\Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}}$  (2 góc so le trong)  (1)

Vì $OA=OM$ (= bán kính đường tròn (O)) nên $∆OAM$ cân tại $O$ $\Rightarrow$ $\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}$ 

Vậy $AM$ là đường phân giác của góc $\widehat {OAH}$