Bài 8 trang 98 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.$ Chứng minh rằng: 

 a) $AB ⊥ CD$;

 b) Nếu $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ thì $MN ⊥ AB$ và $MN ⊥ CD$.

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =0$

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: 

$\begin{array}{l} 2\overrightarrow {MN} \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \end{array}$

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )$

$= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2})$

$= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)$

$={1 \over 2}(AB.AD.\cos60^0+AB.AC.\cos60^0-AB^2)$

$={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0$ $\Rightarrow  AB ⊥ MN$.

$\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AD} }^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {A{D^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - A{C^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {A{D^2} - AB.AC\cos \widehat {BAD} - A{C^2} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{B^2}\cos {{60}^0} - A{B^2} + A{B^2}\cos {{60}^0}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.0 = 0\\ \Rightarrow MN \bot CD \end{array}$

Loigiaihay.com