Bài 4 trang 98 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong không gian cho hai tam giác đều $ABC$ và $ABC'$ có chung cạnh $AB$ và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC, CB, BC', C'A,$ Chứng minh rắng:

a) $AB ⊥ CC'$;

b) Tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=AB.AC'.\cos \widehat {BAC'}-AB.AC.\cos\widehat {BAC}$

$= a.a.\dfrac{1}{2} - a.a.\dfrac{1}{2} = 0$

 $\Rightarrow AB ⊥ CC'$.

b) Theo giả thiết $Q,P$ là trung điểm của $AC',BC'$ do đó $QP$ là đường trung bình của tam giác $ABC'$

Suy ra: $QP//AB,QP={1\over 2}AB$      (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$PN//CC',PN={1\over 2}CC'$

$MN//AB,MN={1\over 2}AB$              (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $MN//QP,MN=QP$. Do đó $MNPQ$ là hình bình hành.

Ta có: $MN//AB$, $PN//CC'$ mà $AB\bot CC'$ do đó $MN\bot NP$

Hình bình hành $MNPQ$ có một góc vuông nên $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Loigiaihay.com