Bài 7 trang 98 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: 

$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.$

Lời giải chi tiết

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A$ $=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\cos^{2}A}$

$=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|} \right )^{2}}$

$= \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - A{B^2}A{C^2}.\dfrac{{{{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}}{{{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}^2}.{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}^2}}}}$

$= \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - A{B^2}.A{C^2}.\dfrac{{{{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}}$ 

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.$

 Loigiaihay.com