Bài 8 trang 17 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho lục giác $ABCDEF$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DE, EF, FA$. Chứng minh rằng hai tam giác $MPR$ và $NQS$ có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

$MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên ta có: $\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}$

Tương tự ta có:        

$\eqalign{ & \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr & \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr}$

$\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr& = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0  \cr}$

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $MPR$, ta có:

$\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 (2)$

Mặt khác : 

$\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr & \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr & \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}$$= \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG} } \right)$ $+ (\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS})$

$= \overrightarrow 0  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}$ $= \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}$

(vì $\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG}$ $=  - \overrightarrow {GM}  - \overrightarrow {GP}  - \overrightarrow {GR}$ $=  - \left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right) = \overrightarrow 0$)

$\Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}$ $= \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}$

Mà $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0$ nên 

$\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0$

Vậy $G$ là trọng tâm của tam giác $NQS.$

Cách khác:

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR $\Rightarrow \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0$

Ta cần chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh $\Rightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0$

Thật vậy ta có:

$\begin{array}{l}2\left( {\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GN}  + 2\overrightarrow {GQ}  + 2\overrightarrow {GS} \\ = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {GE} } \right) + \left( {\overrightarrow {GF}  + \overrightarrow {GA} } \right)\end{array}$

(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)

$\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {\overrightarrow {GE}  + \overrightarrow {GF} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GM}  + 2\overrightarrow {GP}  + 2\overrightarrow {GR} \end{array}$

(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)

$\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR} } \right)\\ = 2\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \end{array}$

Do đó G cũng là trọng tâm của ΔNQS.

Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.

Loigiaihay.com