Bài 5 trang 17 SGK Hình học 10

Đề bài

Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng:

$2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}$

Lời giải chi tiết

   

$N$ là trung điểm của $CD$ nên ta có:

$\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}=2\overrightarrow {MN}$

hay $2\overrightarrow {MN}=  \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}$    (1)

Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

$\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}$            (2)

$\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD}$          (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

$2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD}$

$= \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}$ $= \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right)$ $= \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}$

(Do M là trung điểm AB nên ${\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} }=\overrightarrow {0}$)

Chứng minh tương tự, ta có:

$\begin{array}{l} 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \end{array}$

Loigiaihay.com