Bài 75 trang 96 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn $(O)$, bán kính $OM$. Vẽ đường tròn tâm $O'$, đường kính $OM$. Một bán kính $OA$ của đường tròn $(O)$ cắt đường tròn $(O')$ ở $B$.

Chứng minh cung $MA$ và  cung $MB$ có độ dài bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Đặt $\widehat {MOB} = \alpha$

$\Rightarrow \widehat {MO'B} = sđ\overparen{MB} =2\alpha$ (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn $(O’)$ cùng chắn cung $BM$).

$\Rightarrow$ Độ dài cung $MB$ là:

$\displaystyle {{l_\overparen{MB}}} = {{\pi .O'M.2\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{\pi .O'M.\alpha } \over {{{90}^0}}}(1)$

Xét đường tròn $(O)$, ta có:

$\widehat{AOM}$ là góc ở tâm chắn cung $AM \Rightarrow sđ\overparen{AM}= \alpha.$

$\Rightarrow$ Độ dài cung $MA$ là:

$\displaystyle {{l_\overparen{MA}}} = {{\pi .OM.\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{\pi.2 .O'M.\alpha } \over {{{180}^0}}} = {{\pi O'M.\alpha } \over {{{90}^0}}}(2)$

(Vì $OM = 2O’M$)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow {l_\overparen{MB}}={l_\overparen{MA}}$.