Bài 70 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 70 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Gọi \(A’, B’, C’\) lần lượt là hình chiếu của \(G\) trên các cạnh \(BC, CA, AB\) của tam giác. Hãy tính diện tích của tam giác \(A’B’C’\) biết rằng tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(S\) và khoảng cách từ \(G\) đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng \(d\), bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(R.\)

Lời giải chi tiết

(h.63).

 

\({S_{A'B'C'}} = {S_{GA'B'}} + {S_{GB'C'}} + {S_{GC'A'}}  ;\)

\(  {S_{GA'B'}} = \dfrac{1}{2}.GA'.GB'.\sin ({180^0} - \widehat C)\)

\(= \dfrac{1}{{18}}{h_a}{h_b}\sin C\).

Trong tam giác ABC, \({h_a} = \dfrac{{2S}}{a} ,  {h_b} = \dfrac{{2S}}{b} ,  \sin C = \dfrac{c}{{2R}}\)

Từ đó ta có \({S_{GA'B'}} = \dfrac{{{S^2}.c}}{{9ab.R}} = \dfrac{{{S^2}.{c^2}}}{{9abc.R}}\).

Tương tự, \({S_{GB'C'}} = \dfrac{{{S^2}{a^2}}}{{9abc.R}} ;  {S_{GC'A'}} = \dfrac{{{S^2}{b^2}}}{{9abc.R}}\).

Suy ra \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{S^2}}}{{9abc.R}}({a^2} + {b^2} + {c^2}).\)

Ta lại có \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 9({R^2} - {d^2})\) ( theo bài 64) nên \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{R^2} - {d^2}}}{{4{R^2}}}.S\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close