Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng caoGiải bài tập Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(r\) và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc \(A, B, C\) tương ứng bằng \(r_a, r_b, r_c\). Chứng minh rằng nếu \(r = {r_a} - {r_b} - {r_c}\) thì góc \(A\) là góc vuông. Lời giải chi tiết Từ bài 74 chương II, ta suy ra \({r_a} = \dfrac{S}{{p - a}},\) tương tự \({r_b} = \dfrac{S}{{p - b}} ; {r_c} = \dfrac{S}{{p - c}}\). Mặt khác, từ công thức tính diện tích ta có \(r = \dfrac{S}{p}\). Từ giả thiết suy ra: \(\dfrac{1}{{p - a}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{{p - b}} + \dfrac{1}{{p - c}}\) \(\Rightarrow \dfrac{a}{{p(p - a)}} = \dfrac{{2p - (b + c)}}{{(p - b)(p - c)}}\). Vì \(2p - (b + c) = a\), suy ra \(p(p - a) = (p - b)(p - c)\). \(\begin{array}{l}pa = p(b + c) - bc \\\Rightarrow bc = p(b + c - a) \\= \dfrac{{b + c + a}}{2}.(b + c - a)\\\Rightarrow 2bc = {(b + c)^2} - {a^2}\\\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\\Rightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}.\end{array}\) Theo định lí Py-ta-go ta có \(\widehat A = {90^0}\). Loigiaihay.com
Quảng cáo
|