Bài 76 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 76 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba trung tuyến bằng \(15, 18, 27.\)

a) Tính diện tích của tam giác.

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Lời giải chi tiết

(h.68).

 

a)Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì

\(\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{GBC}}}} = \dfrac{{AI}}{{GI}} = 3\)

Vậy \(S = 3{S_{GBC}}\).

Lấ điểm \(D\) là điểm đối xứng với \(G\) qua \(I\) ta được hình bình hành \(BGCD\), do đó

\({S_{GBC}} = {S_{BGD}} = \dfrac{1}{2}{S_{BGCD}}\).

Vậy \({S_{ABC}} = 3{S_{BGD}}\).

Tam giác \(BGD\) có độ dài ba cạnh bằng \(10, 12, 18\) nên

\({S_{BGD}}\) \(= \sqrt {20.(20 - 10)(20 - 12)(20 - 18)} \)\( = \sqrt {20.10.8.2}  = 40\sqrt 2 \).

Vậy \(S = 3.40\sqrt 2  = 120\sqrt 2 \).

b) Giả sử \({m_a} = 15, {m_b} = 18 ,  {m_c} = 27\). Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} + {c^2} = 2{m_a}^2 + \dfrac{{{a^2}}}{2}\\{c^2} + {a^2} = 2m_b^2 + \dfrac{{{b^2}}}{2}\\{a^2} + {b^2} = 2m_c^2 + \dfrac{{{c^2}}}{2}\end{array} \right. \\  \Rightarrow   {a^2} + {b^2} + {c^2} \\= \dfrac{4}{3}.\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = 1704.\)

Ta lại có

\(\begin{array}{l}{b^2} - {a^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_a^2 - m_b^2} \right) =  - 132 ;  \\{b^2} - {c^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_c^2 - m_b^2} \right) = 540.\end{array}\)

Từ đó ta tính được \(b = 8\sqrt {11}  ;  a = 2\sqrt {209}  ; c = 2\sqrt {41}  .\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close