Bài 6 trang 104 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₂ (hình bên). Từ hình vuông C₂ lại tiếp tục như trên để được hình vuông C₃… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, …,C_n

Gọi a_n là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Xét dãy số $(a_n)$, ta có $a_1= 4$.

Gọi ${a_n}$ là cạnh hình vuông ${C_n}$.

Ta tính cạnh hình vuông ${a_{n + 1}}$ như sau:

Xét tam giác $BEF$ vuông tại $B$ có $BE = \dfrac{3}{4}BA = \dfrac{{3{a_n}}}{4}$, $BF = \dfrac{1}{4}BC = \dfrac{{{a_n}}}{4}$

Do đó $EF = \sqrt {B{E^2} + B{F^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3{a_n}}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{{a_n}}}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {10} }}{4}{a_n}$ hay ${a_{n + 1}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{4}{a_n}$.

Vậy dãy số $(a_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu là $a_1= 4$ và công bội $\displaystyle q = {{\sqrt {10} } \over 4}$

 Loigiaihay.com