Bài 6 trang 100 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SM, SN, SP, SQ.

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng \(IK//BC\)

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC)

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC có M, N là trung điểm của AB, BC nên MN // AC (1)

Tam giác ACD có P, Q là trung điểm của CD, DA nên PQ // AC (2)

Tam giác SMN có I, J là trung điểm của SM, SN nên IJ // MN (3)

Tam giác SPQ có L, K là trung điểm của SQ, SP nên LK // PQ (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra IJ // LK

Suy ra I, J, K, L đồng phẳng

Ta có:\(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{QP}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{{{\rm{IJ}}}}{{MN}} = \frac{{LK}}{{PQ}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra IJ = LK mà IJ // LK

Suy ra IJKL là hình bình hành

b) Ta có M, P lần lượt là trung điểm của AB, CD

Suy ra: MP // BC (1)

Tam giác SMP có: I, K là trung điểm của SM, SP

Suy ra: IK // MP (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IK // BC

c) Ta có: J là giao điểm của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC)

mà IK // BC

Từ J kẻ Jm // BC

Suy ra Jm là giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC)