Bài 55 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 55 trang 47 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = {60^0}; \widehat C = {45^0}; BC = a\).

a) Tính độ dài hai cạnh \(AB, AC.\)

b) Chứng minh \(\cos {75^0} = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\).

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có \(\widehat A = {180^0} - ({60^0} + {45^0}) = {75^0}.\)

Đặt \(AC=b, AB=c\). Theo định lí hàm sớ sin:

\(\dfrac{b}{{\sin {{60}^o}}} = \dfrac{a}{{\sin {{75}^0}}} = \dfrac{c}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}{5^0}}}\).

Suy ra \(b = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sin {{75}^0}}}  ;   c = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sin {{75}^0}}}.\)

b) Kẻ \(AH \bot BC\) (h.52), do \(\widehat B, \widehat C\) đều là góc nhọn nên \(H\) thuộc đoạn \(BC\), hay \(BC=HB+HC\). Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}HC = \dfrac{{b\sqrt 2 }}{2}\\HB = \dfrac{c}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow  a = HC + HB = b\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{c}{2} \\= \dfrac{{a\sqrt 6  + a\sqrt 2 }}{{4.\sin {{75}^0}}}   \\ \Rightarrow   \sin {75^0} = \dfrac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}.\\\cos {75^0} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}{{75}^0}}\\  = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{4}\sqrt {8 - 2\sqrt {12} } \\ = \dfrac{1}{4}\sqrt {{{\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close