Bài 50 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 50 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm \(A(-1 ; 0),\) \(B(1 ; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I(a ;b)\) và \(R\) là tâm và bán kính của đường \((C)\) cần tìm. Phương trình của \((C)\) là \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).

\((C)\) tiếp xúc với \(\Delta :  x - y - 1 = 0\) khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}d(I; \Delta ) = R \Leftrightarrow     \dfrac{{|a - b - 1|}}{{\sqrt 2 }} = R\\A, B  \in  (C) \\  \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {b^2} = {R^2}\\{(1 - a)^2} + {(2 - b)^2} = {R^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}{(a + 1)^2} + {b^2} =  \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} =  \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\({(a + 1)^2} + {b^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} \)

\(   \Leftrightarrow   a = 1 - b\).

Thay \(a=1-b\) vào (2), ta có:

\({b^2} + {(b - 2)^2} = 2{b^2} \)

\(   \Rightarrow   b = 1    \Rightarrow   a = 0, R = \sqrt 2 \).

Phương trình của \((C): {x^2} + {(y - 1)^2} = 2\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close