Bài 5 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy, tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng:

a) \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\);

b) \(AD \bot \left( {SAB} \right)\);

c) \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a, Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), có \(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SM \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\)

b) \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB \bot AD\) (1)

Lại có \(SM \bot (ABCD) \Rightarrow SM \bot AD\) (2)

Mà \(SM,AB \subset (SAB)\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(AD \bot (SAB)\).

c) \(AD \bot (SAB) \Rightarrow AD \bot SB\) (1)

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SA \bot SB\) (2)

Mà \(SA,AD \subset (SAD)\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(SB \bot (SAD)\).

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SB \bot (SAD)}\\{SB \subset (SBC)}\end{array}} \right.\) suy ra \((SBC) \bot (SAD)\).