Bài 5 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp hai tại \(x = 1\) là

A. \(y''\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).

B. \(y''\left( 1 \right) =  - \frac{1}{4}\).

C. \(y''\left( 1 \right) = 4\).

D. \(y''\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

Lời giải chi tiết

\(y' = \frac{{1'.\left( {x + 1} \right) - 1.\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{0.(x + 1) - 1.1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} =  - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

\[y'' =  - \frac{{1'.{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 1.\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]}^2}}}\]

\[ =  - \frac{{0.{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2\left( {x + 1} \right)'\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\]

\( = \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\)

\( = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\).

\(y''\left( 1 \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^3}}} = \frac{1}{4}\).

Chọn D.